3.2　瞬态响应分析

一阶系统的数学模型为一阶微分方程。一阶系统的典型结构如图3-6所示。

系统的闭环传递函数为

　　（3-7）

式中，T为一阶系统的时间常数。

（1）一阶系统的单位阶跃响应

设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数r（t）=1（t），其拉普拉斯变换为R（s）=，则

　　（3-8）

进行拉普拉斯反变换得

　　（3-9）

由式（3-9）可见，一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零，以指数规律上升到终值c（∞）=1的曲线，为非周期响应，如图3-7所示。系统输出量不能瞬时完成与输入量完全一致的变化。根据图3-7可以得到如下性能：

① 由于时间常数T反映系统的惯性，因此一阶系统的惯性越小，其响应过程越快；反之，惯性越大，响应越慢；

② 经过时间T曲线上升到0.632的高度，反过来，用实验的方法测出响应曲线达到稳态值的63.2%高度点所用的时间，即是惯性环节的时间常数T；

③ 经过时间3T～4T，响应曲线达到稳态值的95%～98%，可以认为其调整过程已经完成，故一般取调整时间为（3～4）T；

④ 在t=0处，响应曲线的斜率为=，初始斜率特性也是常用的确定一阶系统时间常数的方法之一；

⑤ 一阶系统总是稳定的，无振荡，无超调，稳态误差为0。

（2）一阶系统的单位脉冲响应

系统在单位脉冲信号作用下的输出响应称为单位脉冲响应。设输入r（t）=δ（t），其拉普拉斯变换为R（s）=1，则输出量的拉普拉斯变换为

　　（3-10）

单位脉冲响应为

　　（3-11）

其响应曲线如图3-8所示。

（3）一阶系统的单位斜坡响应

控制系统在单位斜坡信号r（t）=t作用下的输出响应称为单位斜坡响应。单位斜坡信号的拉普拉斯变换为R（s）=，则输出量的拉普拉斯变换为

　　（3-12）

则单位斜坡响应为

　　（3-13）

单位斜坡响应曲线如图3-9所示。期望输出与实际输出间的误差为

稳态误差e_ss=e（t）=T。一阶系统的单位斜坡响应存在稳态误差，其大小与时间常数T成正比。

由上述分析可知，从输入信号看，单位斜坡信号的一阶导数为单位阶跃信号，而单位阶跃信号的一阶导数为单位脉冲信号。相应地，从输出信号看，单位斜坡响应的导数为单位阶跃响应，而单位阶跃响应的导数为单位脉冲响应。

由此得出线性定常系统的一个重要性质：若两输入信号存在积分或微分的关系，则它们对应的响应也存在积分或微分关系。因此，对线性定常系统而言，分析出一种典型信号的响应，就可推知其他。