柏拉图的数字音调理论

古希腊的音乐理论建立在所谓的“音乐比例”——即6∶8、9∶12的基础上，据说毕达哥拉斯是从巴比伦学到这些比例的。正是这种比例实践了柏拉图所标注的求积法（对立方体的测量）技巧，

这种神发明的装置引起了巨大的惊异，人们想知道，大自然是如何通过持续运转的伟力与不同级数中有关双倍的反向来铸造形式与类型（form and type）的。这种二倍比率在递进数列中的第一个例子就是1∶2。（《厄庇诺米斯》990e）

每个数学上的“二倍”关系都界定了一个音乐中八度音阶的1∶2，而且如果要避免分数（“将1分割”），就需要一种新的“二倍”关系来正确调整比例的变化。（请注意“大自然……铸造形式与类型”以音乐中的双倍八度音［octave-double］为基础这种表达，它支持了布伦博所提及的“双倍数的系数”［modulus of doubles］。）在八度音范围内，这个算法的意义（Ma=1）和它的“次级对立面”（sub-contrary）或者“谐和的”的导数（derivative）的意义（Mh=1），都要求6这个数字作为最小公约的分母；同时，对于毕达哥拉斯主义者，这数字又分别是9和8：

这些比率表明了毕达哥拉斯主义音调理论中唯一确定的音调（fixed tones），它是所有柏拉图数学象征中不变的（invariant）元素。《厄庇诺米斯》中继续了对“两倍”的讨论，并且提供了一个值得重视的精确解说——无论这个解说是柏拉图本人所写还是由他的著作抄录者菲利普（Philip）所添加；这里，对此洞见的极力赞扬，其实与其在柏拉图宇宙论和政治理论中的重要性相符。

递进数列中双倍比例的第一个例子就是1到2；它的两倍是这一比例的平方（1∶4），而再加上后者的两倍就形成了包含立方的递进，就像我们安排一个从1至8的数列（1，2，22，23）；双倍递进数列的中间数等距于（equidistant）更小和更大的项（算术上的），或者其他递进的关系（如谐函数），而它本身又被同样的分数分别超越——3∶2与4∶3的比例将作为6和12的平均数被发现——就在这些项（6、12）的平均数的支配下，并在其双倍比例的意义上，我们为什么会拥有受缪斯女神祝佑的合唱队赐予的礼物：人类拥有和谐与尺度——这一戏剧的恩惠在节奏和音调中起作用。（《厄庇诺米斯》991）

对于柏拉图来说，缪斯女神赐予的这一音乐礼物，并不能使音乐家们从对这一论断的认知中转移注意力，即：视觉——而非听觉，“是给我们带来最大福气的通道”（《蒂迈欧》47a）。在他的例子中，他提及“那些能够固定自己目光的人”——“持续的、具有支配效果的旋转及其反面”，他以这些话语提醒我们：数字和音调必须被翻译为几何图像；这些话还透露出：对他自己来说，最重要的图像就是“圆形”——最纯粹的“循环”观念的象征。柏拉图的城邦是圆形的；它们的模型是“音调系统（tone-circles）”。“政体，一旦有了良好的开端，”苏格拉底宣称，“就会像轮子滚动一样地成长起来。”（《王制》424a）天上的城邦在我们眼前旋转：“我们看见了昼夜、月份、年份、二分、二至，从而有了数的概念……于是我们开始有哲学。”（《蒂迈欧》47b）柏拉图建立的“最坏的”城邦——亚特兰蒂斯（Atlantis）——是由四个同心圆组成的一个环；而《法义》中他阐述的“可行的”城邦马格内西亚（Magnesia）是一个双倍的环，这一城邦“从中心的卫城辐射出去，由道路划分为十二个部分”（《法义》745），如同图1中我们按比例划分的十二音调（见图1）。《王制》中，苏格拉底以发现“正义”为目的，“从一开始它就在我们脚下流逝了”（《王制》432d），这也许是从沙子里（如沙子般浩瀚的论述中）找到的对于柏拉图圆形构思的一种可能的暗示。

为了弄清为何6∶8∶9∶12这一音乐上的比例本身从外表上看就容易令人误解，我们必须以倒数的方式分析这些数字的功能（作为波长和频率的比率，或作为一些线段长度单位的倍数和约数），因此，它们同时适用于音高的上行序列和下行序列。

例如，在八度音阶中关于D音，A音和G音因算术学和和声的缘故而倒转了它们的角色；于是，音调和数字仅凭“外观”就迷惑了我们。若能对“音调系统”的几何学如何帮助我们获得一种更高的洞察力加以留心，那么，我们就能更为接近地触摸到不变真理的“真实”。柏拉图写道，立法者必须

坚持的总体原则是，数量的划分和变化有利于一切东西——变化既存在于数量本身中，也存在于平面、立体图形、各种声音和运动（直上直下和循环旋转）中。（《法义》747a）

这一圆形中，起始与终点相互重合。因此，基准音调D从直观上就担任了几何平均数（geometric mean）的功能，这一几何平均数介于自身对称的算术中项与调和中项之间，而二者根据数字是倍数还是约数抑或根据音调的升降，改变自身的位置。通过这一设计，我们获知了苏格拉底意义上的“位于中道”（《王制》619a），它永不改变，因为音域会对称展开到升D与降D（此处用D的原因在于，按照现代字母的排序，它恰好是对称的中心）——只要我们记得给柏拉图提及的每一处算数公式的辩证调性含义（dialectical tonal meaning）制作图表。我们的基准音调D代表“1”，它具备每一有理数及其倒数的几何平均数的功能。由于它的绝对恒定性，它因此象征了“神”。任何一个数字（在柏拉图的时代，数字就是指整数）都被看作“1的变形”，因而在隐喻意义上，它们也被看作——借用坎贝尔（Joseph Campbell）的说法——“神的面具”。所有那些柏拉图试图引导我们去关注的数字，以及我们称之为D的，都仅仅是“1”的一种变形——从几何学来看；这样的变形要求避免拆分（fraction），而保持其相互性，所有的结构都必须满足这两个基本条件。与任何正整数相乘，都保存了该有理数在形式上相关的性质。尤其是，一种数字理论的观点使“清算分数”（clearing fraction）的过程卓有成效——这保留了一个“平均值”（mean）的性质。柏拉图的数学世界里，所有东西都被这三种方式连接起来——算术、和声和几何学。

在所有的结合中，最好的莫过于，在最大程度上使它自己及其所联系的事物（terms）结合为一个整体；而对于一个持续着的几何比例，其本质就在于对此施加最完美的影响。（《蒂迈欧》31c）

接着，从外表上看，我们看到A∶D、D∶G，正如我们在听觉上辨识出“纯四度”的不变性，它在升调中构成，而在降调中则会有“纯五度”。在音调系统中，我们脱离了时间和变化，矛盾的是，一个静态的映像却能在一位观看者心中产生一种巨大的精神活动。柏拉图对于圆形的痴迷人所共知。他的音调系统是一项卓越的教育学功绩，不过，值得怀疑的在于，是否是他发明了我们在此处重构事物中的任何一个，尽管在《法义》中是有可能的。在图4的圆形中，我们能够首次见识到柏拉图式的性隐喻和遗传学说。针对算术中项（arithmetic mean）和调和中项的现代代数计算法，则十分含混。