2.9　剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系

应用整体平衡与局部平衡的概念，通过微段梁的平衡分析，可以得到剪力、弯矩与载荷集度之间的微分关系。根据这种关系，以载荷的作用状况可直接判断出剪力图和弯矩图的形状，因而无须写出剪力方程和弯矩方程，就可以画出剪力图和弯矩图。

考察仅在Oxy平面有外力作用的情形，如图2-14（a）所示，假设载荷集度q向上为正。

用坐标为x和x+dx的两个相邻横截面从受力的梁上截取长度为dx的微段，如图2-14（b）所示，微段的两侧横截面上的剪力和弯矩分别为

x横截面FQ，M

x+dx横截面FQ+dFQ，M+dM

由于dx为无穷小距离，因此微段梁上的分布载荷可以看作是均匀分布的，即

q（x）=常数

考察微段的平衡，由平衡方程可知

∑Fy=0，FQ+q（x）dx-（FQ+dFQ）=0

忽略力矩平衡方程中的二阶小量，得到

将再对x求一次导数，便得到

这就是载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系。因为式（2-2a）、式（2-2b）是根据平衡原理和平衡方法得到的，是整体平衡与局部平衡概念的进一步扩展，所以又称平衡微分方程。

需要注意的是，上述微分关系式是根据向上的分布载荷导出的。如果分布载荷向下，则q（x）取负值。

上述微分关系式（2-2a）、式（2-2b）表明，剪力图和弯矩图图线的几何形状与作用在梁上的载荷集度有关：

（1）剪力图在某一点的斜率等于对应截面处的均布载荷集度；弯矩图在某一点处斜率等于对应截面处剪力的数值。

（2）如果一段梁上没有分布载荷作用，即q=0，这一段梁上剪力的一阶导数等于零，则剪力方程为常数，因此，这一段梁的剪力图为平行于x轴的水平直线；弯矩的一阶导数等于常数，弯矩方程为x的线性函数，因此，弯矩图为斜直线。

（3）如果一段梁上作用有均布载荷，即q=常数，这一段梁上剪力的一阶导数等于常数，则剪力方程为x的线性函数，因此，这一段梁的剪力图为斜直线；弯矩的一阶导数为x的线性函数，弯矩方程为x的二次函数，因此弯矩图为二次抛物线。

（4）弯矩图二次抛物线的凸凹性与载荷集度q的正负有关：当q为正（向上）时，抛物线为凹曲线，凹的方向与M坐标正方向一致；当q为负（向下）时，抛物线为凸曲线，凸的方向与M坐标正方向一致。