13.2　导数的基本公式与导数的四则运算法则

本节重点知识：

1.基本初等函数的导数公式.

2.导数的四则运算法则.

13.2.1　基本初等函数的导数公式

根据导数定义，我们已知求导数的步骤，但对任何函数如果都需经过那样烦杂的步骤去求导数，是非常麻烦的，因此需将求导运算公式化.为了方便起见，我们把基本初等函数的导数公式给出，其中有些已经证明了，其余的将通过以下几节陆续证明.

（1）常数的导数　（c）′=0（c为常数）.

（2）幂函数的导数　（xα）′=αxα-1（α为任意实数）.

例如，（x）′=1；（x2）′=2x；；.

（3）指数函数的导数

①（ax）′=axlna（a>0，a≠1）；　②（ex）′=ex.

（4）对数函数的导数

①；　②.

（5）三角函数的导数

①（sin x）′=cos x；　②（cos x）′=-sin x；

③；　④；

⑤（secx）′=secxtan x；　⑥（cscx）′=-cscxcotx

（6）反三角函数的导数

基本初等函数的导数公式是求导的基础，必须熟记.实际中常会遇到较复杂的函数（如基本初等函数的和、差、积、商、复合函数等）.因此需研究导数的运算法则，使复杂函数的求导问题简单化.

13.2.2　导数的四则运算法则

设u=u（x），v=v（x）都是x的可导函数，则

法则1　（u±v）′=u′±v′；

法则2　（uv）′=u′v+uv′，特殊地（cu）′=cu′（c为常数）；

法则3　，特殊地.

注意：法则1、法则2可推广到有限多个可导函数的情况，例如

设u=u（x），v=v（x），ω=ω（x）均可导，则有

（u±v±ω）′=u′±v′±ω′；（uvω）′=u′vω+uv′ω+uvω′.

例1　求y=x4-x2+sin x+2x的导数.

解　y′=（x4-x2+sin x+2x）′=（x4）′-（x2）′+（sin x）′+（2x）′

=4x3-2x+cos x+2xln2

练一练

（1）已知y=x5-cos x，则y′=__________；

（2）已知y=x2-x+1，则y′=__________；

（3）已知 ，则y′=__________；

（4）已知y=sin x-cos x+2x-log4x，则y′=__________.

例2　求的导数.

例3　求y=ex（sin x+cos x）的导数.

解　y′=（ex）′（sin x+cos x）+ex（sin x+cos x）′

　=ex（sin x+cos x）+ex（cos x-sin x）=2excos x.

练一练

（1）已知y=（x-3）（2x+5），则y′=__________；

（2）已知y=（3x2-1）cos x，则y′=__________；

（3）已知y=（1+ex）（1-sin x），则y′=__________；

（4）已知y=sin xcos x+2sin x-3ln x，则y′=__________.

例4　求的导数.

例5　求y=tan x的导数.

同理可得

（cotx）′=-csc2x；　（secx）′=secxtan x；　（cscx）′=-cscxcotx.

练一练

（1）已知 ，则y′=__________；

（2）已知 ，则y′=__________；

（3）已知 ，则y′=__________；

（4）已知 ，则y′=__________.

例6　求下列函数的导数：

（1）；　　（2）y=tan x+xsecx；　　（3）.

解　（1）因为，故

（2）y′=sec2x+sec x+xsecx tan x=sec x（sec x+1+x tan x）；

想一想

（1）[（2x3-1）lnx]′=（　）ln x+（2x3-1）（　）；

（2）（3x3sin x）′=（　）x2sin x+3x3（　）；