12.1　集合与函数

本节重点知识：

1.集合.

2.函数.

3.初等函数.

4.函数的应用.

12.1.1　集合

1.集合的概念

集合在数学领域具有无可比拟的特殊重要性.集合论的基础是由德国数学家Cantor在19世纪70年代奠定的，经过一大批卓越的数学家半个世纪的努力，到20世纪20年代已确立了其在现代数学理论体系中的基础地位.可以说，当今数学各个分支的所有结果都几乎构筑在严格的集合理论上.所以学习现代数学，应该由集合入手.

把具有某种特定属性的对象所组成的总体称为集合.把组成集合的每一个对象称为这个集合的元素.

一般用大写字母A，B，C，…表示集合，用小写字母a，b，c，…表示集合的元素.用“a∈A”表示a是集合A的元素或称“a属于A”，用“a∉A”表示a不是集合A的元素或称“a不属于A”.属于关系是元素与集合之间的关系，故属于符号“∈”两边就分别是元素和集合.集合有时简称集.

元素为数的集合称为数集，常见的数集如表12-1所示.

本书所讨论的数集一般都是实数集.

2.集合的表示法

列举法　把集合中的元素一一列举出来，并记在{}内，这种表示集合的方法称为列举法.

例如，方程x2-5x+6=0的解的集合是{2，3}.

描述法　把集合中所包含元素的共同特性，用描述性短语或数学表达式写在{}内，这种表示集合的方法称为描述法.

例如，方程x2-5x+6=0的解的集合用描述法表示为{x|x2-5x+6=0}.

3.区间与邻域

区间　区间是介于两个实数间的所有实数的集合.

开区间　设a<b，称数集{x|a<x<b}为开区间，记为（a，b），即

（a，b）={x|a<x<b}.

闭区间　[a，b]={x|a≤x≤b}称为闭区间.

半开区间　[a，b）={x|a≤x<b}，（a，b]={x|a<x≤b}称为半开区间.如表12-2所示，其中a和b称为区间的端点，b-a称为区间的长度.

以上区间称为有限区间，区间的端点均为常数.除此之外，还有无限区间，如表12-3所示.

练一练

1.把下列不等式的解集用区间和数轴上的点集表示：

-3<x<5；　-1≤x<2；　x≥-2；　x≤-4；　 ；

；　|x|≤3；　|x|>2.

2.把下列不等式组的解集用区间和数轴上的点集表示：

邻域　设δ是任意正数，则开区间（a-δ，a+δ）称为点a的δ邻域，记作U（a，δ），即

U（a，δ）={x||x-a|<δ}=（a-δ，a+δ）.

其中，点a称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，如图12-1（a）所示.称

U（a，δ）={x|0<x-a|<δ}

为点a的去心δ邻域，如图12-1（b）所示.

练一练

1.把下列邻域用区间和数轴上的点集表示：

U（1，0.5）；　U（0，0.7）；　U（-1，0.2）；　U（x0，δ）；

U（1，0.5）；　U（-2，0.3）；　U（x0，δ）；

2.把下列不等式的解集用区间和数轴上的点集表示：

（1）-2≤x≤3；　　（2）-3<x≤4；　　（3）-2≤x<3；

（4）-3<x<4；　　（5）x>3；　　（6）x≤4.

3.把下列不等式的解集用区间表示：

（1）x≤0；　　（2）-2≤x<1；　　（3）x>-1；　　（4）9≤x≤10.

4.把下列区间用集合和数轴上的点集表示：

（1）（-4，0）；　　（2）（-8，7]；　　（3）[-1，2）；　　（4）[3，1].

12.1.2　函数

函数是数学中最重要的概念之一，函数是指两个数集之间的一种特殊对应关系.

1.函数的概念

引例1　圆的面积与半径的对应关系A=πr2，r∈（0，+∞）

分析　对于（0，+∞）内的每一个半径取值，都有唯一确定的面积取值与之对应.面积A对半径r的这种依赖关系就是函数关系.其中半径r是主动变化的，称为自变量，随着半径r的变化，面积A被动地变化，称为因变量.当自变量r在（0，+∞）内取任一数值时，因变量A相应有唯一确定的数值.

定义1　设D、M是两个给定的数集，若按照某种法则f，使得对数集D中的每一个数x，都可以找到数集M中唯一确定的数y与之对应，则称这个对应法则f是数集D到数集M的一个函数，记为

f：D→M

x→y=f（x）

集合D称为函数f的定义域，记为Df.D中的每一个x，根据对应法则f，对应于一个y，记作y=f（x），称为函数f在x的函数值，全体函数值的集合

Rf={y|y=f（x），x∈（D}⊆M

称为函数f的值域，x称为f的自变量，y称为因变量.

即，函数是定义域集合中的每个元素恰好有值域中的一个元素与之对应.

一般情况下，可以把函数记法中的第一行省略，只要写成

y=f（x），x∈D（=Df）

即可，读作“函数y=f（x）”或“函数f”.这里f表示一种对应法则，对于每一个x∈D，它确定了唯一的y=f（x）与x对应，如图12-2所示.

注意

（1）记号f和f（x）的含义是有区别的，前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则（即函数），而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便，习惯上常用记号“f（x），x∈D”或“y=f（x），x∈D”来表示定义在D上的函数，这时应理解为由它所确定的函数f.

（2）函数符号.函数y=f（x）中表示对应关系的记号f也可改用其他字母，例如“φ”，“F”等.此时函数就记作y=φ（x），y=F（x）.

概括起来，构成一个函数必须具备下列两个基本要素：

①数集D，即定义域Df=D；

②对应法则f，使每一个x∈D，有唯一确定的y=f（x）与之对应.

当两个函数不仅对应法则相同，而且定义域也相同时（于是它们的值域必然相同），它们表示的是相同的函数，至于此时自变量和因变量采用什么符号是无关紧要的，例如y=x2，x∈（-∞，+∞）与u=v2，v∈（-∞，+∞）表示的就是同一函数.即函数只与定义域和对应法则有关，而与变量采用的符号无关.

练一练

判断下列各组函数是否相同，并说明原因：

（1） 与y=x；　　（2）y=ln x2与y=2ln x；

（3） 与y=x；　　（4）y=1-sin2x与y=cos2x；

（5） 与y=|x|；　　（6） 与y=sin x；

（7） 与 .

给出一个函数y=f（x），如果f（x）是一个代数式，它的定义域是指，使得

（1）分母不为零；

（2），　x≥0；

（3）ln x，　x>0；

（4）同时含有上述三项时，要求使各部分都成立的交集.

例1　求下列函数的定义域：

解　（1）要使有意义，须使分母x-3≠0，即x≠3，所以这个函数的定义域是Df={x|x≠3}，用区间表示为Df=（-∞，3）∪（3，+∞）.

（2）要使有意义，须使被开方数x+2≥0且对数的真数5-x>0，即x≥-2且x<5，所以这个函数的定义域是Df={x|-2≤x<5}，用区间表示为Df=[-2，5）.

（3）要使有意义，须使分母x2≠1即x≠-1且x≠1，所以这个函数的定义域是Df={x|x≠-1且x≠1}，用区间表示为Df=（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）.

练一练

求下列函数的定义域：

如果y=f（x）是一个代数式，要求x=a时的函数值f（a），只要用a替换式子中的x计算即可.例如对于函数f（x）=-x2+x+2，则

f（-1）=-（-1）2+（-1）+2=0，f（3）=-32+3+2=-4.

例2　函数f（x）=2x2-5x+1，求（1）f（a）；（2）.

解（1）f（a）=2a2-5a+1；

（2）f（a+h）=2（a+h）2-5（a+h）+1=2（a2+2ah+h2）-5（a+h）+1

　　　　　　=2a2+4ah+2h2-5a-5h+1.

表示函数的主要方法有三种：表格法、图像法、解析法（公式法），这在中学已经熟悉.其中，用图像法表示函数是基于函数图像的概念，即坐标平面上的点集

{（x，f（x））|x∈D}

称为函数y=f（x），x∈D的图像，如图12-3（a）所示；同时也可以在图像中找到函数的定义域和值域，如图12-3（b）所示.

练一练

1. ，求f（0），f（a），f（t+h）.

2.f（x）=4-3x+x2，求 .

3. ，求 .

4.做出下列函数的图像（列表、描点、作图）：

（1）f（x）=2x-1；　　（2）f（x）=x2-1.

2.分段函数

引例2　旅客携带行李乘飞机旅行时，行李不超过20kg不收费用，若超过20kg，每超过1kg收运费a元，建立运费y与行李重量x的函数关系.

分析　因为当0≤x≤20时，运费y=0；当x>20时，超过的部分（x-20）按每千克收运费a元，此时y=a（x-20）.所以函数y可以写成：

这样就建立了行李运费y与行李重量x之间的函数关系，这样的函数称为分段函数.

定义2　对自变量的不同变化范围，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.

例如，函数

是一个分段函数，其定义域为Df=[0，1]∪（1，+∞）=[0，+∞）.即分段函数的定义域是x取值范围的并集.

当0≤x≤1时，；当x>1时，y=1+x.

特征函数是一个分段函数，其中A是数集，此函数常用于计数统计.

例3　函数.求（1）定义域；（2）f（-2），f（-1），f（0）；（3）做出函数的图像.

解　（1）函数的定义域Df=（-∞，-1]∪（-1，+∞）=（-∞，+∞）.

（2）因为-2≤-1，所以f（-2）=1-（-2）=3.

因为-1≤-1，所以f（-1）=1-（-1）=2.

因为0>-1，所以f（0）=02=0.

（3）当x≤-1时，f（x）=1-x，所以函数的这部分图像是一条截止于点（-1，2）的射线，点（-1，2）包括在其中；当x>-1时，f（x）=x2，所以函数的这部分图像是一条从点（-1，1）开始的抛物线，并且点（-1，1）不在其中，其图像如图12-4所示.

例4　做出函数的图像.

解　该函数称为绝对值函数.其定义域为Df=（-∞，+∞），值域为Mf=[0，+∞），如图12-5所示.

注意　分段函数是用几个式子合起来表示一个函数，而不是表示几个函数.

练一练

1.设函数 .

求（1）函数的定义域；（2）f（0.5），f（1.5），f（3）；（3）做出函数的图像.

2.求下列函数的定义域，并作出函数的图像：

（3）符号函数 ；

（4）单位阶跃函数 .

3.函数的简单特性

有界性　若存在两个常数m和M，使函数y=f（x）满足

m≤f（x）≤M　x∈D，

则称f在D有界.其中m是它的下界，M是它的上界.

注意　当一个函数有界时，它的上界与下界不唯一.由上面的定义可知，任意小于m的数也是f的下界，任意大于M的数也是f的上界.

有界函数的另一定义是“存在正数M，使函数y=f（x）满足|f（x）|≤M，x∈D”，可以证明这两种定义是等价的.

例如，函数f（x）=sin x在（-∞，+∞）内是有界的，因为无论x取任何实数，|sin x|≤1都能成立.这里M=1（也可取大于1的任何数作为M，而|sin x|≤M成立）.

单调性　如图12-6所示，曲线从A到B是上升的，从B到C是下降的，从C到D是上升的，此时称函数f（x）在[a，b]上单调增加，在[b，c]上单调减少，在[c，d]上单调增加.

设函数f（x）的定义域为D，（a，b）⊆D

（1）如果对任意的x1、x2∈（a，b），且x1<x2，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在（a，b）内是单调增加的.

（2）如果对任意的x1、x2∈（a，b），且x1<x2，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在（a，b）内是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

如果函数y=f（x）在（a，b）内是增函数（或是减函数），则称函数f（x）在区间（a，b）内是单调函数，区间（a，b）称为函数f（x）的单调区间.函数在区间（a，b）内的单调增加或单调减少的性质，称为函数的单调性.

例如，图12-7是函数y=x2和y=x3的图像.

由图可知，函数y=x2在区间[0，+∞）内是单调增加的，在区间（-∞，0]内单调减少的；在区间（-∞，+∞）内函数y=x2不是单调的.

函数y=x3在区间（-∞，+∞）内是单调增加的.

函数的奇偶性　设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x∈D，恒有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数；如图12-8（a）所示；如果恒有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数，如图12-8（b）所示.

例如，f（x）=x2是偶函数，因为f（-x）=（-x）2=x2=f（x）；而f（x）=x3是奇函数，因为f（-x）=（-x）3=-x3=-f（x）.

偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称.

函数y=sin x是奇函数，函数y=cos x是偶函数.

函数y=sin x+cos x既非奇函数，也非偶函数，称为非奇非偶函数.

例5　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=x5+x；　　（2）g（x）=1-x4；　　（3）h（x）=2x-x2.

解　（1）f（-x）=（-x）5+（-x）=（-1）5（x）5+（-x）=-x5-x

　　　　　　=-（x5+x）=-f（x），

所以f（x）=x5+x是奇函数.

（2）g（-x）=1-（-x）4=1-x4=g（x），

所以g（x）=1-x4是偶函数.

（3）h（-x）=2（-x）-（-x）2=-2x-x2，

h（-x）≠h（x），且h（-x）≠-h（x），所以h（x）=2x-x2是非奇非偶函数.

周期性　设函数f（x）的定义域为D.若存在不为零的数T，使得对于任意的x∈D，都有x±T∈D，且

f（x+T）=f（x）

恒成立，则称f（x）为周期函数，其中T称为函数的周期，通常周期函数的周期是指它的最小正周期.

例如，sin（x+2π）=sin x，cos（x+2π）=cos x，所以y=sin x，y=cos x都是以2π为周期的周期函数；tan（x+π）=tan x，cot（x+π）=cotx，所以y=tan x，y=cotx都是以π为周期的周期函数.

练一练

判定下列函数的奇偶性：

（4）f（x）=x|x|；（5）f（x）=1+3x2-x4；（6）f（x）=1+3x3-x5；

12.1.3　初等函数

1.基本初等函数

常数函数　函数y=c称为常数函数.其定义域Df=（-∞，+∞），无论x为何值，y均为常数c，如图12-9所示.

幂函数　函数y=xμ（μ为常数，μ∈R）称为幂函数.幂函数y=xμ的定义域随μ的取值而变化，但不论μ取什么值，幂函数在（0，+∞）内总有定义.且图像都过点（1，1）.

下面介绍一些常见的幂函数.

（1）μ=n（μ∈N+），y=xn，此时函数的定义域为（-∞，+∞）.

当n=1，2，3，4时，有函数y=x，y=x2，y=x3，y=x4，如图12-10所示.

y=xn图像的形状依n是奇数还是偶数来决定.如果n是奇数，那么y=xn是奇函数，图像与y=x3相似，如果n是偶数，那么y=xn是偶函数，图像与y=x2相似.

当n=2时，，定义域是[0，+∞）；当n=3时，，定义域为（-∞，+∞），如图12-11所示.

图像的形状依n是奇数还是偶数来决定.如果n是奇数，那么的定义域为（-∞，+∞），图像与相似，如果n是偶数，的定义域为[0，+∞），图像与相似.

（3）μ=-1，，函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），为奇函数，如图12-12所示.

指数函数　函数y=ax（a>0，a≠1且a为常数）称为指数函数.其定义域是实数集R，即区间（-∞，+∞），因为无论x取任何实数值，总有ax>0，又a0=1，所以指数函数y=ax（a>0且a≠1）的图像，总在x轴的上方，指数函数的值域是（0，+∞），且通过点（0，1），如图12-13所示.

若a>1，指数函数ax是单调增加的（见图12-13（a））；若0<a<1，指数函数ax是单调减少的（见图12-13（b））.

对数函数　函数y=logax（a>0，a≠1，且a为常数）称为对数函数，其定义域是正实数集R+，即区间（0，+∞），值域是R，如图12-14所示.

y=logax（a>0，a≠1，a为常数）的图像总在y轴右方，且通过点（1，0）.

若a>1，对数函数y=logax是单调增加的，在开区间（0，1）内函数值为负，而在区间（1，+∞）内函数值为正（图12-14（a））.

若0<a<1，对数函数y=logax是单调减少的，在开区间（0，1）内函数值为正，而在区间（1，+∞）内函数值为负（图12-14（b））.

工程问题中常常遇到以常数e（e是无理数，e≈2.718）为底的对数函数，y=logex称为自然对数函数，简记作y=ln x.

三角函数　y=sin x、y=cos x、y=tan x、y=cot x、y=sec x、y=csc x统称为三角函数.其中自变量x以弧度来表示.

常用的三角函数有正弦函数y=sin x、余弦函数y=cos x、正切函数y=tan x.

y=sin x和y=cos x都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是（-∞，+∞），值域都是[-1，1]，如图12-15所示.

对于所有的x∈（-∞，+∞），有

即　　|sin x|≤1；|cos x|≤1.

y=sin x是奇函数，图像关于原点对称；y=cos x是偶函数，图像关于y轴对称.

正切函数是以π为周期的周期函数，它的定义域为

，值域是（-∞，+∞），如图12-16所示.

正切函数y=tan x为奇函数，图像关于原点对称.

余切函数y=cot x是正切函数的倒数，正割函数y=sec x是余弦函数的倒数，余割函数y=csc x是正弦函数的倒数，即

反三角函数

y=arcsin x　x∈[-1，1]　 ，　y=arccos x　x∈[-1，1]　y∈[0，π]，

y=arctan x　x∈R　 ，　y=arccotx　x∈R　y∈（0，π），

称为反三角函数.

图12-17给出的是常用的反正弦函数y=arcsin x和反正切函数y=arctan x的图像.

下面给出一些今后在高等数学和专业课学习中常用的三角函数公式：

同角三角函数的关系

①平方关系

sin2x+cos2x=1；　1+tan2x=sec2x；　1+cot2x=csc2x.

②商数关系

③倒数关系

二倍角公式

sin 2x=2sin x cos x；

cos 2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x.

半角公式

练一练

1.分辨下列函数的类型（幂函数、指数函数、对数函数）：

（1）y=log2x；　　（2）y=πx；　　（3）y=xπ；　　（4） ；（5）v（t）=5t.

2.从图12-18中找出对应的函数，并解释你的选择.

（1）y=3x；　　（2）y=3x；　　（3）y=x3；　　（4） .

2.复合函数

若y=f（u），u=φ（x），当u=φ（x）的值域全部或部分落在f（u）的定义域内时（即两个函数解析式中u的取值范围有公共部分），得到一个以x为自变量y为因变量的函数，称其为由函数y=f（u）和函数u=φ（x）构成的复合函数，记为y=f（φ（x）），变量u称为中间变量.

例如，，u=g（x）=x2+1，y是u的函数，而u是x的函数，通过u，y是x的函数

我们称这个函数为由 与u=g（x）=x2+1复合而成的复合函数.

但不是任意给出两个函数都能复合，如函数y=f（u）=ln u和函数u=-2-x2不能构成复合函数，这是因为对任一x∈R，u=-2-x2均不在y=f（u）=ln u的定义域（0，+∞）内（即两个函数解析式中u的取值范围没有公共部分）.

例6　函数f（u）=u2，u=g（x）=x-3，求f（g（x））.

解　f（g（x））=f（x-3）=（x-3）2.

有时，一个复合函数可能由三个或更多的函数复合而成.例如，由函数y=2u，u=sin v和v=x2+1可以复合成函数，其中u和v都是中间变量.反之，分析一个复合函数的复合结构一般由外向里，每一步大都是基本初等函数的形式.

例7　指出下列复合函数的复合过程：

（1）y=cos2x；　　（2）；　　（3）y=esin（x-1）.

解　（1）因为y=（cos x）2，通过由外向内的复合方式，得其复合过程为

y=u2，u=cos x；

（3）y=eu，u=sin v，v=x-1.

练一练

1.求由下列各组函数复合而成的复合函数：

（1）y=f（u）=u2-1，　u=g（x）=2x+1；

（2）y=f（u）=u-2，　u=g（x）=x2+3x+4；

（3）y=f（u）=1-3u，　u=g（x）=cos x；

（4）y=f（u）=3u-2，　u=g（v）=sin v，　v=x2.

2.指出下列复合函数的复合过程：

（1）y=（2x-1）4；　　（2）y=sin2x；　　（3）y=ln2（3-2x）；

3.初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合所构成的函数，称为初等函数.

例如y=sin2（3x+1）、、y=ecos x、等都是初等函数.

常见的函数都是初等函数，高等数学主要研究初等函数.

分段函数一般不是初等函数，但绝对值函数除外（如）.

12.1.4　函数的应用

1.基本初等函数的应用

幂函数　用一个正方形的面积S来给出其边长a的函数关系，即为分数指数幂

类似的，表示在一个岛上所发现的物种的平均数与该岛的面积的关系也会有分数指数幂，即若N是物种数量，A是岛的面积，有

其中K是与岛所处的地域有关的常数.

三角函数　三角函数的显著特征是周期性，具有周期性的事物，可考虑用适当的三角函数来刻画.如月圆月缺、交流电、经济规律、人的心脏跳动、血压、人的生理、情绪等都有周期性，都可以运用三角函数来描述.

例如，某地海平面（海潮）变化规律为

又如，家庭中的交流电电压的变化规律为

V=V0cos（100πt）.

指数函数　指数函数只有两种类型：指数增长y=ax（a>1）和指数衰减

y=ax（0<a<1）.

许多事物的变化规律都服从指数变化规律，因而指数函数是理解真实世界事物发展过程的基础.

例如，人口按指数增长.经研究发现，每一种指数增长型人口总数都有一个固定的倍增期，当前世界人口的倍增期约为38年.如果你活到76岁，则在你一生中，世界人口预计会增长四倍.

又如“知识爆炸”也按指数增长，有科学家提出的增长模型为y=Aekt.如科学家每50年增长10倍，论文数量10～15年增长一倍等.

2.数学建模基础知识

我们常见有飞机模型、建筑模型、城市或单位的沙盘模型等实物模型，有地图、电路图、建筑图、管理流程图等符号模型，还有计算机三维图片的仿真模型.

模型是对实际事物即原型的一种反映.科学研究与解决问题的主要方法是建立模型.

数学模型，从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式、各种函数关系，以及由公式系列构成的算法系统等等都可以称为数学模型.从狭义上讲，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系的结构，才称为数学模型.在现代应用数学中，数学模型都作狭义解释.而建立数学模型的目的，主要是为了解决具体的实际问题.

例如，世界大国的核武器竞赛中，20世纪70年代美苏曾签订一项核武器协定：陆地州际导弹美国限制为1054枚，苏联为2000枚.为什么美国愿意签订这样“一比二”的协定？后来人们才知道，美国政府曾委托美国著名的“智囊”——兰德公司研究这一问题.兰德公司通过实验与研究建立了一个核弹数学模型

其中，K是核武器的伤毁值，y是威力（TNT当量），c是精度（与目标的距离）.这是一个初等数学模型，反映出核弹主要因素之间的比例关系与指数关系.即当威力增加8倍时，伤毁值增加4倍；当精度增加8倍时，伤毁值增加64倍.

结论是：核武器的发展方向是精度更重要.此后美国核武器发展的战略为——数量较少但精度较高.

3.数学模型的建立过程

研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的.

具体到建立函数模型，可分为下列步骤：

（1）分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示；

（2）根据所给条件，运用数学或物理知识，确定等量关系；

（3）具体写出解析式y=f（x），并指明定义域.

例8　设有一块边长为a的正方形薄板，将它的四角剪去边长相等的小正方形，制作一只无盖盒子，如图12-19所示，试将盒子的体积表示成小正方形边长的函数.

解　设剪去的小正方形的边长为x，盒子的体积为V.则盒子的底面积为（a-2x）2，高为x，因此所求的函数关系为

例9　由直线y=x，y=2-x及x轴所围成的等腰三角形ABC（见图12-20），在底边上任取一点x∈[0，2].过x作垂直x轴的直线，将图上阴影部分的面积表示成x的函数.

解　设阴影部分的面积为A，当x∈[0，1）时，，当x∈[1，2]时，.所以

例10　某一玩具公司生产x件玩具将花费（x>4且为整数）元，如果每件玩具卖48元，那么公司生产x件玩具获得的净利润是多少？

解　因为净利润=销售收入-成本，经过简单分析，可以得到公司生产x件玩具获得的净利润y为

例11　一汽车租赁公司出租某种汽车的收费标准为：每天的基本租金200元，另外每公里收费为15元/km.（1）试建立每天的租车费与行车路程（单位：km）之间的函数关系；（2）若某人某天付了400元租车费，问他开了多少公里？

解　（1）设每天租车费为y，行车路程公里数为x，则y为每天的基本租金200元和当天开车x（km）所收费用15x之和，即

y=200+15x.

（2）把y=400代入上式中有

400=200+15x，

x≈13.3（km）.

建立函数模型是一个比较灵活的问题，无定法可循，只有多做些练习才能逐步掌握.