一、课程难度系数的定义与分析
影响课程难度的基本要素至少有三个:课程深度、课程广度和课程时间。其中,课程深度泛指课程内容所需要的思维的深度,这是一个非常难以量化的要素,涉及概念和数学原理的抽象程度以及概念之间的关联程度(徐利治、郑毓信先生称之为“数学抽象度”[6]),还涉及课程内容的推理与运算步骤;课程广度是指课程内容所涉及的范围和领域的广泛程度,可以用我们通常所说的“知识点”的多少进行量化;课程时间是指课程内容的完成所需要的时间,可以用我们通常所说的“课时”多少进行量化。
如果用N来表示课程难度,用S表示课程深度,用G表示课程广度,用T表示课程时间,综上所述,可以建立下面的函数关系式:
需要强调的是,在许多情况下,人们往往混淆了课程难度与课程深度这两个不同的概念,认为课程越深则课程就越难。因此,我们必须做这样的假定:
假定:我们所研究的课程内容,只要有足够的时间,绝大多数学生都是能够理解的。
这就意味着,课程难度与课程深度成正比,与课程时间成反比。同样,课程难度与课程广度成正比,与课程时间成反比。这样,单位时间的课程深度S/T和单位时间的课程广度G/T是刻画课程难度很重要的量,我们分别称之为“可比深度”和“可比广度”。显然,课程的“可比深度”和“可比广度”都大,则这门课程就难。这启发我们用“可比深度”和“可比广度”的加权平均来刻画课程难度,则(1)式为:
其中,α满足0<α<1被称为加权系数,反映了课程对于“可比深度”或者“可比广度”的侧重程度。
为了方便起见,我们称由(2)式定义的N为课程难度系数。
对于同一门课程(或者相应教材)的两个不同版本A和B,分别用N(A)和N(B)表示其课程难度系数,则N(A)>N(B)说明A比B更难,难度系数的差越大,则说明难度的差别越大。
由课程难度系数的定义,我们还可以进一步得到如下结论:
1.在课程时间不变的前提下,无论是单独增加课程深度还是单独增加课程广度,都将增加课程难度;
2.在课程时间不变的前提下,如果希望增加课程广度,那么,即使是降低课程深度,课程难度也有可能增加;
3.在课程时间不变的前提下,如果希望增加课程深度,那么,即使是压缩课程广度,课程难度也有可能增加。
事实上,义务教育阶段的课程时间是固定的,某一门课程的授课时间也往往是固定的。因此,“广而深”的课程设计模式必然过分加大课程难度,是不可行的。进一步,无论是“窄而深”的课程设计模式还是“广而浅”的课程设计模式,都会影响课程难度。因此,一个“好”的课程设计理念应当是:在控制课程难度的前提下,优化课程深度与课程广度。
在这个理念下,我们还可以得到下面的结论:
4.如果希望课程难度保持不变,那么,增加课程的可比广度则必须降低课程的可比深度,增加课程的可比深度则必须降低课程的可比广度。