一、数学的定义
在中国形式逻辑的教科书中，对定义的“定义”大体上是一致的注47：定义是揭示研究问题对象内涵的逻辑方法。这样的描述似乎非常深刻，这样的描述对定义的功能寄托了很大的期望。这种对定义的理解源于古希腊哲学，因为古希腊哲学对定义的要求相当苛刻，比如，古希腊早期学者苏格拉底就在论证过程中强调定义的严格，美国哲学家杜兰特在他的著作中生动地描述了苏格拉底的辩论场景，并且评价苏格拉底的辩论风格时说注48：“再也没有比下定义更困难，更能严峻地考验和锻炼一个人思路的清晰和措辞的技巧了。”
事实上，现代哲学的发展表明，要对定义本身进行定义是一件非常困难的事情，并且随着哲学研究的深入，人们给出定义的形式愈发多种多样注49。即便如此，为了研究数学推理的需要，这里依然确切地给出两种数学定义的形态：一种称为名义定义，源于古代中国哲学；一种称为实质定义，源于古希腊哲学。在下面的论述中将会看到，这两种形态的数学定义是必要的，似乎也是充分的。
名义定义。名义定义是指用举例说明或者符号表达的方法赋予研究对象称谓。如上引用《墨经·小取》所说的“以名举实”，古代中国哲学认为，定义就是给某一类东西赋予称谓，也正如春秋战国哲学家公孙龙子在《指物论》中所说的那样注50：“如果没有名，天下的物就没有称谓了”。
现代数学的发展表明，在遵循古希腊哲学对定义提出的苛刻要求的同时，还应当看到，古代中国哲学朴实而单纯的关于定义的见解更为本质。这是因为，苛刻要求的定义对于数学最为本源、最为基本概念是行不通的，比如，算术中的自然数、加法；几何中的点、线、面。下面，将通过数学定义的演变过程来论证这个问题。
古希腊数学家欧几里得是用揭示内涵的方法定义数学概念最早的实践者，他的著作《几何原本》就是从点、线、面的定义开始的注51：
1.点是没有部分的。2.线只有长度而没有宽度。5.面只有长度和宽度。
基于这些定义，以及规定了的5个公理和5个公设，欧几里得就用演绎推理的方法，论证了一系列数学命题，特别是论证了一系列几何命题的正确性。于是，欧几里得形式逻辑的论证方法就成为数学研究的典范，也成为近代物理学研究的楷模，正如爱因斯坦曾经说过的那样注52：
西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。
欧几里得的定义揭示了几何学最基本概念的内涵，这样的定义抽象了人们对图形的感觉。正是因为有了这样的揭示和抽象，才使得欧几里得几何学的表达如此深刻，产生了如此深远的影响。但是，对于越来越严格的数学，这样的定义至少存在两个本质上的弊病。
第一个弊病是关于内涵的。欧几里得定义的描述似乎是天经地义的，可是细想起来，这些描述也实在是让人费解：没有部分是什么东西呢？只有长度、没有宽度的东西是什么呢？这里不能不提出这样的问题：欧几里得所描述的东西存在吗？比如，可以给出金山的定义：金山是指由金子堆积而成的山。那么，是否因为有了这个定义，就可以认为金山存在吗？英国哲学家罗素在《西方哲学史》中曾经举过这个例子，以此说明：所谓揭示内涵的定义可以不顾及所定义了的东西本身是否存在。
特别是，欧几里得在后面的论证过程中，不加任何解释就使用了这样的命题：两条直线相交必然交于一点。应当如何理解这个命题呢？两条直线相交，怎么能交于没有部分的地方呢？如此追究下去，貌似严谨的欧几里得几何必然会漏洞百出，而造成漏洞的原因就在于那些企图揭示内涵的定义。古希腊学者赋予定义的功能太大，对定义的期望太高。
第二个弊病是关于外延的。根据欧几里得的定义，能够举例说明什么是“点”吗？或者更简单，能够判断一个东西是不是“点”吗？比如，基于人们眼睛观察，“空气”是没有部分的，是不是就可以说“空气”是“点”呢？显然，利用欧几里得的定义很难对这样的对象进行判断。
如果一个定义，又解释不清内涵，又确定不了外延，这个定义还有什么意义呢？但是，不到万不得已的时候，人们还是非常宽容的，是不会轻易改变的。当人们解释不清晰无理数的时候，就企图用几何作图的方法来解释无理数的运算，虽然这个解释最终是失败的。两千多年以后，当人们需要解释几何公理体系的相容性时，德国数学家希尔伯特又用解析几何的方法论证了这样的结论：“几何公理体系的无矛盾性”可以归结为“算术公理体系的无矛盾性”。而“算术公理体系的无矛盾性”是希尔伯特1900年在巴黎第二届数学家大会上提出的23个问题中的第二个问题。
但是，万不得已的时候还是到来了，原因并不是直接来源于几何学，而是因为一个强大的数学工具微积分的出现。17世纪后半叶，英国科学家牛顿和德国哲学家、数学家莱布尼茨从不同角度独立地发明了微积分。微积分威力无比，借助微积分的计算人们可以清晰地解释天地万物的运动规律，但令人尴尬的事情是，数学家们却解释不清楚这种计算方法的道理是什么，其中最主要的原因是解释不清什么是极限。后来数学家终于意识到，为了合理地解释包括微积分在内的数学体系，就必须重新认识和表达数学最基本的研究对象，就必须把“数”的表达与人们对直线段上“点”的直观有机结合起来，正如德国数学家戴德金在《数的理论》这篇文章中，借用几何直觉给出实数“连续”定义时所说的原则注53：
苟直线上之点，裂为前后两段，前段各点均在后段各点之左，如是则必有一点，且仅有一点使此两段之分裂得以产生。
这样，“点”就再也不是“没有部分”的那种东西了，因为现在所说的点能够把直线分割为两个部分，这就意味着，数学家为了更有效地表达几何学的研究对象，就必须彻底改变欧几里得对几何学基本概念所用的、揭示内涵的表述方法。改变的唯一途径就是完全脱离几何的直观背景，使基本概念符号化。几何概念的符号化定义是由希尔伯特完成的，他在1882年谈出了自己的想法注54：
如果几何学要成为一门真正演绎的科学，那么必不可少的是：做出推论的方式既要与几何概念的意义无关，又要与图形无关；需要考虑的全部东西只是命题和定义所断言的几何概念之间的联系。
基于这个想法，希尔伯特在1899年出版的著作《几何基础》中，模仿欧几里得《几何原本》把几何学所要研究的对象写在著作的开篇注55：
设想有3组不同的对象：第一组的对象叫作点，用A，B，C……表示；第二组的对象叫作直线，用a，b，c……表示；第三组的对象叫作平面，用α，β，γ，……表示。点也叫作直线几何的元素；点和直线叫作平面几何的元素；点、直线和平面叫作空间几何的元素或空间元素。
乍一看上面的定义，人们会以为希尔伯特是在开玩笑，这样的定义只是用符号表示了所要研究的对象而已，这样的定义等于什么也没有说。确实如此，希尔伯特定义是对欧几里得定义的终极否定：不仅没有揭示对象的内涵，甚至没有描述所要定义的对象是什么。关于这样的定义，希尔伯特的理解是非常深刻的：如果说不清楚几何所要研究的对象是什么，唯一的办法就是形式化表示。这与前面所阐述的、古代中国先哲的看法是一致的：定义只不过是给一些东西起一个名字。
显然，如果定义只是一种形式化的符号表示，定义本身、或者说定义了什么东西就不重要了。那么，什么样的东西是重要的呢？重要的东西应当如何表达呢？希尔伯特曾经非常生动地阐述了他在《几何基础》这本著作中所给出的定义，并且述说了更重要的东西是什么注56：
欧几里得关于点、线、面的定义在数学上并不重要，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是因为公理述说了它们之间的关系。换句话说，无论是称它们为点、线、面，还是称它们为桌子、椅子、啤酒杯，最终推理得到的结论都是一样的。
在给出研究对象的称谓之后，希尔伯特提出了5组公理来确定研究对象之间的关系。借助这样的公理体系，前面谈到的“两条直线相交必然交于一点”的问题就迎刃而解了。同时可以看到，有了这样的公理体系，确实也不需要那些“揭示研究对象内涵”的定义了。
几乎在相同的时间，意大利数学家皮亚诺用“后继数”的思想符号化地定义了自然数注57。皮亚诺的算术公理体系共有9条公理：第一条公理与第六条公理一起定义了自然数，同时也定义了加法；其余公理是为了保证自然数的唯一性、加法运算的合理性，以及数学归纳法的公理框架注58。
现代数学的基本概念“集合”的定义也经历了类似的过程。最初，德国数学家康托最早给出试图揭示内涵的定义：集合是指研究对象的全体。可是，研究对象是什么呢？这样的定义引发了诸多悖论，包括英国数理逻辑学家、哲学家罗素提出的理发师悖论。现在人们普遍认同的“集合”的定义基于ZF（策梅罗-弗兰克尔）集合公理系统，这个系统包括9个公理，确立了集合是由元素唯一确定的、集合的运算、无穷集合的可能，等等，其中关于集合的定义也是名义上的注59：
用大写字母A,B,C表示集合；用小写字母a,b,c表示元素；用∈表示属于关系。如果元素a属于集合A，则表示为a∈A。
综上所述，希尔伯特关于“点线面”、皮亚诺关于“数”、策梅罗关于“集合”的定义有一个共同特征，那就是用符号表达研究对象、对研究对象赋予称谓。这样的定义彻底摆脱了研究对象的所有物理属性，从而达到了抽象的极致。事实上，对于最为基本的概念，只有这样的定义才能真正地避免悖论的出现，因为凡是具体的述说就必然会有反例。
可以看到，名义定义具有简约、无歧义的特征，这种定义的可行性依赖于一个完备的公理体系，而对公理体系的理解需要相当的数学素养。这样，始于基本概念的基础教育阶段的数学教育就陷入了两难的境地：采用揭示内涵的定义无法保证数学的严谨，采用名义定义无法理解公理体系的逻辑。为此，基础教育阶段的数学教育必须独辟蹊径，汲取两种定义的合理内核，归纳出人们通常认识基本概念的思维模式，形成切实可行的教学模式。这个思维模式和教学模式的核心就是“对应”，也就是说，可以采用对应的方法引导学生认识和理解数的基本概念。由于篇幅所限，不在这里讨论这个问题，有兴趣的读者可以参见作者的一本书注60。
如果说，数学最为基本的概念必须采用名义定义，那么，为了数学的发展而需要的那些概念则可以在基本概念的基础上采用实质定义。
实质定义。实质定义是指用“属加种差”的方法指明研究对象。其中“属”和“种”均借用了生物学的概念：“种”是“属”中特殊的一类，其中的特殊性能够用“种差”表明。这样的定义方法源于古希腊学者亚里士多德，亚里士多德认为每个合理的定义都应当有两部分，使得定义能够稳稳地站立在两只脚上注61：
首先，把特定的物体与具有同样一般特征的物体归为一类，比如，人是动物；其次，指出特定物体与同类其他物体差异的表现，比如，人是理性动物。
亚里士多德所说的两部分，恰好构成了属加种差的定义表达模式：人是“种”、动物是“属”、理性是“种差”。其中，“种”是被定义的，称为被定义项；“属加种差”是定义的，称为定义项。也就是说，在上述亚里士多德的话语中：“人”是被定义项，“理性动物”是定义项。下面，尝试用数学符号表达实质定义。
用x表示一个元素，A表示一个集合，Ω表示一个类，P表示一个性质；用∈表示元素与集合之间的隶属关系，⊆表示集合与集合、集合与类之间的包含关系；用x表示x具有性质P，A→P表示集合A中所有元素都具有性质P。
约定：当使用“集合”这个词进行表述的时候，认为所谈论的对象是清晰的；当用“类”这个词进行表述的时候，可以认为谈论的对象并不那么清晰。所谓的清晰是指：能够确切地辨明一个对象属于这个集合，还是不属于这个集合。这样，可以把实质定义表示为
x∈A⇒x∈Ω，x→P （1）
这样构建定义对于日常生活是可以的，比如，尽管大家并不清楚亚里士多德所说的“理性”到底是什么，因此无法判断是否存在非理性的人，也无法判断是否有人以外的理性动物，但依然可以使用亚里士多德的说法。可是，这样的定义对于数学却是不行的，因为（1）式所表达的定义还不够清晰。在下一个话题将会一般性地看到，如果数学的定义不够清晰，就必然会影响数学命题的确切性，进而影响数学推理的有效性。作为例子，讨论一个现在仍然在使用的数学定义。在现行的中小学数学教科书中，关于方程的定义是这样的：
称含有未知数的等式为方程。
这个定义是属加种差的形式：等式是“属”、方程是“种”、含有未知数是“种差”。但是，含有未知数的等式未必就是方程，比如2x－x=x是一个含有未知数的等式，可这个等式表示的是符号运算，不是通常意义所说的方程。为什么会出现这样的情况呢？问题出在定义中的“种差”，在上述定义中的种差“含有未知数”这个性质不足以约束构成方程的等式。按照通常理解，所谓等式就是含有等号的数学式子，而等号具有两个功能注62：第一个功能是表示数值（包括符号）运算的传递性，第二个功能是表示等式两边的数量相等。因此，第一个功能只是在讲述一个故事，在这一个故事中数值（包括符号）是等价的、是可以递推的；第二个功能必须讲述两个故事，在这两个故事中两个数量的意义可以不同，但数量相等。方程利用的是等号的第二个功能，而反例2x－x=x利用的是等号的第一个功能，基于这个理由，含有未知数的等式就不一定是方程。
因此，要构建方程的实质定义，除却未知数这个要素外，还必须在性质中或者说在种差中彰显等号的第二个功能。比如，可以把方程的定义表述如下：
称含有未知数的表示等量关系的等式为方程。
在方程的实际教学中，强调方程的等量关系或许比单纯强调方程中的未知数更便于学生理解和把握方程的本质。通过上面的例子可以看到，对于数学的实质定义应当提出更“严格”的要求：如果把（1）式的表达看作充分性的话，那么还需要定义的必要性。也就是说，在数学实质定义中，被定义项的称谓与定义项的内涵述说必须是充分必要的注63。对于这个要求，在（1）式的基础上，可以用数学符号进一步表示为：
x∈A⇒x∈Ω，x→P;
x∈Ω，x→P⇒x∈A. （2）
数学的实质定义要求上面两个关系式同时成立。可以看到，实质定义的构建比较复杂，为了更好地规范和把握，人们制定出了一些规则，传统意义的规则大概可以包括下面5条注64：
1.定义应当揭示种的本质属性。
2.定义不能循环。
3.定义既不能过宽又不能过窄。
4.定义不能用歧义的、晦涩的或比喻的语言表述。
5.定义可以用肯定表述就不用否定表述。
这5条规则似乎是非常合理的，可是，要使用这些规则来具体判断一个话语是否能成为实质定义却是非常困难的，因为这些要求过于笼统。简要分析上述的五条要求。
第一条是重要的，为了构建数学的实质定义，揭示本质属性的性质P必须是充分必要的；第二条极为重要，在数学上，定义的不循环是通过名义定义和实质定义这两个层次实现的；第三条和第四条已经被充分必要的要求所包含；第五条对于数学的实质定义是显然的。
事实上，如果要对一个数学概念构建实质定义，关键要思考两个问题：一个问题是这个数学概念本身是否足够清晰，需要判断是否存在一个集合、能够明确地知道这个概念是否属于这个集合；另一个问题是对这个数学概念内涵的表述是否足够清晰，需要判断是否可以得到一个说明内涵的性质，使（2）式成立。如果这两个问题都得到了满足，就可以构建数学的实质定义。