1.4　基尔霍夫定律

集总参数电路电压、电流变量间的关系受到两方面的约束：元件约束和拓扑约束，它们是分析研究集总参数电路的基本依据。元件约束是由元件本身特性决定的规律，如线性电阻元件满足欧姆定律；拓扑约束是指由电路的结构，即连接方式所表现出来的约束关系，基尔霍夫定律体现了这种约束关系。

1845年，德国物理学家基尔霍夫（G.R.Kirchhoff）提出基尔霍夫定律，包括基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。

在阐述基尔霍夫定律之前，首先介绍与电路拓扑结构有关的几个名词。电路由电路元件通过端子互相连接而成。图1-21就是一个电路拓扑结构图，电路的结构用支路、节点、路径、回路、网孔等名词描述。

支路：电路中一个二端元件称为一条支路。通常把流经元件的电流称为支路电流，把元件两端的电压称为支路电压。

节点：电路中两条或两条以上支路的连接点称为节点。

注意，b和c、e和f之间用理想导线连接，不存在电路元件，所以b和c是一个节点，e和f是一个节点。这样，图1-21共有6条支路（1，2，3，4，5，6），4个节点（a，b（c），e（f），d）。

为了方便，也可将几个串联或并联连接的元件合并在一起定义为一条支路，把3条或3条以上的支路连接点定义为节点。按此定义，图1-21中只有3条支路（1—3，4—5，2—6），2个节点（b（c），e（f））。

路径：如果电路中两个节点间存在由不同支路和不同节点依次连接而成的一条通路，则称这条通路为连接这两个节点的路径。

路径可以用支路集合或节点集合来表示，图1-21中的支路集合{1，2}或节点集合{a，b（c），d}都表示节点a和d之间的同一个路径。两个节点之间可以存在多条路径，如{3，6}也是a和d之间的一条路径。

回路：电路中任一个闭合的路径称为回路。

图1-21所示的电路共有6个回路，如{1，3，4}，{1，3，6，2}都是回路。

平面电路：如果将电路画在平面上，可以做到任意两条支路都不相交的情况，那么称该电路为平面电路。

网孔：内部不含支路的回路称为网孔。

只有平面网络才有网孔的定义。图1-21所示的电路共有3个网孔：{1，3，4}，{4，5}，{2，5，6}。

一般把含元件较多的电路称为网络，但实际上，电路与网络是可以混用的，没有严格的区别。内部含有独立源的网络称为有源网络，否则称为无源网络。

1.4.1　基尔霍夫电流定律

基尔霍夫电流定律（KCL）又称为基尔霍夫第一定律，其物理背景是电荷守恒公理。电荷守恒是指电荷既不能创造也不能消失。在任一时间间隔内，对电路中的任一节点，有多少电荷流入该节点，必定有多少电荷流出该节点，节点上没有电荷的累积。

基尔霍夫电流定律可表述为：在集总参数电路中，任一时刻、流经任一节点的所有支路电流的代数和等于0。其数学表示式为

式中，i_k表示第k条流出（或流入）该节点的支路电流，n₁为与该节点相连接的支路数。

式（1-21）称为节点电流方程或KCL方程。在建立方程时，习惯上将参考方向流出该节点的支路电流取正号，参考方向流入该节点的支路电流取负号（也可以做相反的规定，两者是等价的）。

如图1-22所示的电路，可分别列出A、B、C三个节点的KCL方程为

每个KCL方程均是线性齐次代数方程，反映了电路中相应节点所连接的支路电流间的线性约束关系。如果改写图1-22中节点A的KCL方程，得

对照图1-22可知，此式表明，在集总参数电路中，任一时刻、任一节点流出该节点的所有支路电流之和等于流入该节点的所有支路电流之和，即

式（1-22）是基尔霍夫电流定律的另一种表示形式。

基尔霍夫电流定律通常应用于集总参数电路的节点，但对电路的闭合面也是成立的，如图1-22所示的虚线闭合面，有3条支路电流通过，而A、B、C三个节点的KCL方程相加正好可以得到

此式表明，在集总参数电路中，通过任意封闭面的支路电流的代数和为0。这是基尔霍夫电流定律的推广，这种假想的封闭面又称为广义节点。

【例1-5】　电路如图1-23（a）所示，试由图中已知支路电流求出其余的支路电流。

解　对图1-23（a）所示的节点①、②、③列KCL方程

也可以利用广义KCL方程，封闭面如图1-23（b）中的虚线所示，方程为

在KCL方程的列写和计算过程中，要注意两类正负号问题：一类是方程每项电流系数的正负号，另一类是电流自身的正负号。

【例1-6】　网络A、B如图1-24（a）所示由两条导线相连接。（1）i₁与i₂有何关系？（2）如果电流i₁所在支路断开，求i₂中的电流。

解　（1）利用广义KCL方程，封闭面如图1-24（b）中的虚线所示，方程为

即i₁与i₂相等。

（2）如果电流i₁所在支路断开，如图1-24（c）所示，利用广义KCL方程，封闭面如虚线所示，只有一个支路电流通过，所以i₂=0。

1.4.2　基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律（KVL）又称为基尔霍夫第二定律，其物理背景是能量守恒公理。能量守恒是指能量既不能创造也不能消失。对于任一独立电路，在任一时刻，电路从外界获得的能量或功率为0。

基尔霍夫电压定律可表述为：在集总参数电路中，任一时刻、沿任一回路的所有支路电压的代数和等于0。其数学表示式为

式中，u_k表示回路第k条支路的电压，n₂为回路包含的支路数。

式（1-23）称为回路电压方程或KVL方程。在建立方程时，首先选定一个回路的绕行方向，支路电压的参考方向与绕行方向一致时取正号，支路电压的参考方向与绕行方向相反时取负号。

图1-25为某电路的一个局部回路，假设回路绕行方向为顺时针方向，则KVL方程为

或者支路电压用下标表示，则KVL方程为

每个KVL方程均是线性齐次代数方程，反映了电路中组成相应回路的支路电压间的线性约束关系。

如果改写图1-25所示回路的KVL方程，得

对照图1-25可知，此式表明，在集总参数电路中，任一时刻、沿任一回路的支路电压降之和等于支路电压升之和。即

式（1-24）是基尔霍夫电压定律的另一种表示形式。

基尔霍夫电压定律不仅适用于实际存在的回路，也适用于任意假想的回路。图1-25中的节点B、D间并无支路，但仍可把BCDB或BAEDB看成是一个回路，即假想回路。如果选顺时针绕行方向，对假想回路BCDB列KVL方程，则有

这是基尔霍夫电压定律的推广，这种假想的回路又称为广义回路。

【例1-7】　电路如图1-26（a）所示，试由图中已知的支路电压求出u_ab和u_bd。

解　列KVL方程选择回路的方法是，尽量选择回路中除了待求支路电压以外，其余支路电压都已知的回路。

对于图1-26（a），首先求u_bd。

如图1-26（b）所示，选顺时针绕行方向，对回路cbdc列KVL方程

然后求u_ab。

如图1-26（b）所示，选逆时针绕行方向，对广义回路abdea列KVL方程

代入u_bd=4V，u_de=2V（注意，此处u_ed=-2V⇒u_de=2V）

求得u_ab=-9V

在KVL方程的列写和计算过程中，也要注意两类正负号问题：一类是方程每项电压系数的正负号，另一类是电压自身的正负号。

【例1-8】　如图1-27所示的电路，已知u_ab=30V，求电流i₁和i。

解　如图1-27所示，选顺时针绕行方向，对广义回路acba列KVL方程

因为对于2Ω电阻来说，u_cb与i₁是关联参考方向，故u_cb=2×i₁，而u_ab=30V⇒u_ba=-30V代入式①，求得

对C列KCL方程，即

1.4.3　单回路及单节偶电路

单回路及单节偶电路都是只需列一个KVL或KCL方程就可以求解的简单电路。单回路电路是只有一个回路的电路，依据一个KVL方程及元件VCR关系即可以求解；单节偶电路是只含一对节点的电路，依据一个KCL方程及元件VCR关系即可以求解。下面通过具体实例了解这两种简单电路的求解方法。

【例1-9】　图1-28所示的直流电路，各元件参数均已给定，求电流I及各元件的功率。

解　（1）如图1-28所示，电路只有一个回路，是单回路电路，流过所有电路元件的电流是同一个电流I。为方便计算，各电阻电压与电流采用关联参考方向，则有

选顺时针绕行方向，对回路列KVL方程

将式①代入，可得：IR₁+U_S2+IR₂+IR₃-U_S1=0

代入元件参数，

（2）求各元件的功率

对于电压源U_S1，电压U_S1与电流I是非关联参考方向，吸收的功率

所以电压源U_S1在电路中产生10W的功率。

对于电压源U_S2，电压U_S2与电流I是关联参考方向，吸收的功率

所以电压源U_S2在电路中吸收4W的功率。

各电阻元件吸收的功率

可以看出，电路元件吸收的总功率等于元件产生的总功率，即

式（1-25）是能量守恒定律在电路中的反映，称为电路的平衡功率方程，也可表示为

如果电路非直流电路，电压、电流随时间变化，则电路平衡功率方程可表示为

【例1-10】　在图1-29所示的电路中，已知电流源某瞬时电流i_S=4A，R₁=6Ω，R₂=2Ω，试求电流i、电压u及受控源吸收的的功率。

解　如图1-29所示，电路只有一对节点，是单节偶电路，各元件端电压相同均为u，电路中含有一个电流控制电流源，电路可以列一个KCL方程求解。为减少变量，利用电阻元件的伏安关系直接用电压表示出流经电阻的电流，则对电路任一节点列写KCL方程为

对受控源控制支路列辅助方程：

将元件参数及式②代入式①，得

对于受控源来说，端电压u和流过的电流2i是非关联参考方向，吸收的功率

所以受控源在此电路中产生48W的功率。