01　早期的训练

我首先想讲的是计算能力。为什么全书开篇就讲计算呢？因为大多数中小学生的计算能力真的……令人发指。

关于计算这个话题可以写很多书，而我之所以想仔细聊这个话题，是因为太多的朋友问过我这个问题：“贼老师，孩子的数学成绩怎么才能提高？”

一般我会反问：“孩子的计算能力怎么样？”

细细想来，很多时候，学生在做数学题时都能找到思路，但就是算不出正确结果来。如果能解决计算上的问题，数学成绩原地就能拔高。于是上述问题很自然的一个追问就是：计算能力怎么提高？

我有一个有点糊弄人、却是最好的答案：具体孩子具体分析，因材施教。

说了和没说一样。

各位不要向我扔砖，事实就是如此。就好像我再怎么科学地训练跑步，也成不了博尔特。因为每个学生之间的差异太大，所以不存在一种放之四海而皆准的教学方法能够让所有孩子练好计算——当然更不可能存在学好数学的通解。不过，我们总还是有一些基本的规律可以运用。接下来，我就要正式开始我的数学教学课了，欢迎大家批评指正。

我始终认为，在什么年纪就应该做什么年纪的事。比如，你能在读小学的时候就去学微积分吗？陶哲轩1同学，请你把手放下！好吧，我说的是一般的孩子……

1陶哲轩，著名华裔数学家，数学菲尔兹奖获得者，7 岁就开始自学微积分。

很多人感慨自己的计算能力糟糕，一方面是因为天赋——这个并不需要回避。人和人之间计算能力的差别，不比人和聪明的狗之间的计算能力的差别小太多，所以一个班的孩子们在数学这个科目上的天分差异也许能横跨一个太平洋。如果不正视这一点，始终用“我家孩子其实挺聪明的，就是不用功”的话来自欺欺人，那么永远也不可能得到提高。

有家长问了：“既然这样，那天分一般的娃学数学还有什么意义？”

对于同一个孩子来说，努力了就比不努力好，努力对了方向就比努力错了方向强。虽然大多数人是凡人，但做好自己难道不是有最大的现实意义吗？

计算能力从小学到初中其实分为两个阶段：小学阶段是培养对数的计算能力，初中阶段则是对式的计算能力。换句话说，从小学到初中，是具体的“数”的计算能力往抽象的“式”的计算能力过渡的一个过程。

而且与计算相关的内容，除非是孩子现学相关章节，否则其他考试几乎没有单独考计算的，但是几乎每道题目都离不开它。最要命的是，到了高中，甚至可能从初二开始，再想提高计算能力就是一件非常困难的事情了，因为没有专门的章节再让你去进行练习。

对大部分学生而言，计算能力就是一只可怕的拦路虎。我有着多年的高考阅卷经验，实在是见了太多计算不过关的样本。

必须指出的是，小学和初中的计算能力培养是一脉相承的。大量的抽象运算的能力和技巧来源于对数的运算。此时的计算能力对若干年后的高考的影响可不像蝴蝶效应那样无法捉摸，而必须是正相关的——计算能力越强，高考数学越容易得高分，反之亦然。所以我们必须要抓住从小学到初一这段计算训练的黄金时期，因为只有在这段时间内，孩子才有机会进行系统性的计算训练，而且能配合大量的时间进行练习。

从小学到高中，数学学习的难度越来越大，区分度越来越高，靠数学成绩拉分的现象越来越明显。在小学阶段的数学考试是看不出什么差距的。有的孩子考了 99 分，是因为他只能考 99 分；而有的孩子考了 100 分，是因为卷子只有 100 分。这种差距到了高中就会被放大到不忍直视的地步。但是，良好的学习习惯、扎实的基本功的作用在小学阶段往往被忽视了，而这些必须从低年级就开始注意培养。

那么具体该怎么做呢？

一千多年以前，杜甫曾经写过“随风潜入夜，润物细无声”的诗句。数感和兴趣的培养其实是一个长期的过程，“家学渊源”四个字可不是说着玩的。很多时候，高手都是受环境影响、被熏陶出来的。

我们在日常生活中会有很多机会接触到各种数。对于低年级的小学生来说，他们正处在积累感性认识的重要时期。要培养孩子对数的敏感性，对数感兴趣。

比如我们可以对孩子做这样的训练，让娃把房间里所有带数字的地方都找出来，同时对同类型的物品进行归类。举个例子吧，乐高现在差不多是每个孩子玩具的标配，那么我们可以让娃把积木按颜色、按形状来进行分类。类似地，我们可以问问孩子：“房间里有几张凳子、几张桌子？”

别小看这类训练，这里包含的分类思想是近世代数里十分重要的一类问题，然而其训练的雏形可以追溯到低幼年龄段。是不是很神奇？

在这一阶段，我们要教会孩子合理地使用手指进行辅助运算。这是人的天性，不用白不用啊！人类之所以采用十进制的原因就是我们恰好有 10 根手指……如果我们每个人有 17 根手指，那现在最流行的恐怕就是十七进制了。

采用手指帮助计数和辅助计算近乎是人类的本能，所以孩子在这个阶段用此方法是完全必要的，不要一开始就禁止孩子使用这些天然的辅助手段。只有当孩子能熟练地进行计数之后，我们再来考虑计算能力。无论做什么训练，就是两条原则：循序渐进和持之以恒。千万不要动不动就觉得自己生了个天才，很多家长看到孩子取得一点成绩就无限放大。曾经年幼无知的我在高中的时候也觉得自己就是那种为了数学而生的男人，然而大学第一学期就把我打回了现实世界。保持平常心对于客观认识娃的水平有着极其重要的意义。

训练的过程一定是从 10 以内过渡到 20 以内再到 100 以内的加法、减法，再到混合加减。我们天然地接受加法和乘法，而抗拒减法和除法，所以，我强烈建议先把加法和乘法的基本训练过关，再进行减法和除法的训练。

当加法和乘法运算熟练之后，我们怎么过渡到减法和除法呢？这里建议从逆运算的角度来考虑。以减法为例：

从加法的角度来考虑，题目就转化成

这样做有两个好处。一是更符合人们的思维习惯。从我以往的阅卷情况来看，减法和除法出问题的概率高于加法和乘法。就像我们喜欢求导而讨厌积分一样，对于互逆的运算，我们总是喜欢一头而讨厌另一头。所以，从天然喜欢的角度引导训练，效果会更佳。

二是开始灌输方程的萌芽思想。这就是个最简单的一元一次方程，让孩子慢慢接受这样的方式，等到学习方程的时候就会衔接得很好。

还有一个困惑家长的问题就是：孩子需要大量刷题吗？刷题的时候需要控制时间吗？

家长会觉得一般小朋友都会比较反感刷题，有可能破坏他们对数学的兴趣。其实，学习在大多数情况下本来就是违反人的天性的，反感是正常的。然而，请问学习什么技能不需要对基础进行反复练习呢？乒乓球、围棋……中国男足踢得再烂，那也是有坚持基本功训练的，至于说效果，那是另一回事。所以，刷题肯定是必需的，趁早放弃不刷题就能把数学学好的想法，而且一开始就要控制时间。

至于是不是每天都要刷题，那就看实际情况了。就算不能每天做题，那也要做到经常练习，而且可以穿插进行各种训练，尽量不那么枯燥。同时，正向激励和负向激励要结合起来运用，不能光表扬或者只责罚，“恩威并用”才能起到良好的效果。

每次训练要计时，因为没有速度的正确率毫无意义。同类训练（比如 10 以内加法，50 个一组）一段时间后，当家长发现孩子的计算正确率和速度都有明显提升时，就可以考虑减法训练，然后是加减法混搭。每次进行正确率和时间的统计，数据非常直观，而且不会骗人。这些训练的方法没有任何的技术门槛，需要的只是耐心。

用科学的方法进行督促，靠数据而不是靠感觉说话，才有可能让孩子的能力稳步提高。