02　把数学当语文来学

在孩子刚开始进行较简单的数的四则运算训练过程中，作为家长来说，没有太多的技巧可教，主要就是规范做题习惯、正确引导和陪伴。过了这个阶段，孩子开始进行较复杂的四则运算，比如带小数、分数的运算，或多位数运算等，这时候，技术层面就需要跟进了。

接下来我们看如何提高数的计算能力。

我们在学习语文或者英语的时候，经常听到“语感”一说。这里借用一下语感的概念，我们来谈谈“数感”。所谓数感，顾名思义就是对数的感觉。

很多家长一听：“哎呀，你个教数学的怎么谈起感觉这么主观的东西来了？”其实，感觉在科学的发展过程中还是非常重要的，比如费马就感觉 ，当 为大于 2 的整数时，方程没有非零整数解。这个问题困惑了一批优秀的数学家超过 300 年的时间，最后由安德鲁·怀尔斯教授证明了它是对的，而且怀尔斯捎带手把代数曲线相关理论往前推进了一大步。

有的娃天分高，数感好；大部分普通的娃就需要慢慢培养数感，而且每个人能培养到什么高度也确实是有天花板的，强求不得。

在我的数学学习、教学过程中，我认为熟记一些数据其实对培养计算能力作用非常大，这些数据包括但不限于 100 以内的平方、3 到 10 的高次幂、1 到 10 的算术平方根（精确到小数点后三位），等等。

你看，背这 100 个数（其实是 81 个，假如背下了 1 到 10 的平方数，那 20、30……一直到 90 的整十数平方数还要背？）需要用到什么数学知识或者数学技巧吗？举个例子，若 为紧致的凯勒（Kahler）流形，则其第一陈类中的任一 形式 ，都存在唯一的一个凯勒度量，其里奇（Ricci）形式恰好是 。你知不知道这件事，对能不能背下 100 以内的平方数来说毫无影响啊！甚至，你连儒歇定理这么简单的玩意儿都不知道也没关系。只要你像背单词那样去背就行，需要动脑筋吗？需要什么数学天赋吗？完全不需要。

如果孩子连这个都做不到，恕我直言，你觉得讲其他的方法，孩子能接受吗？果真如此，真的就别“白瞎”那些钱去上什么数学辅导班了。在我们即将提到的那么多学习数学的方法中，这个是最没有难度的，也是最容易自我检验的方法：你拿一张 A4 纸把这些数打印出来，就可以自行检验了。如果这一条都没过关，你再问其他的方法，恐怕也是徒劳无益的。

当然，如果只让你背，而不告诉你背的原因，那么你肯定会觉得自己在浪费时间。接下来我就告诉大家为什么要背这个东西。

数学这门学科在高考中的区分度非常大。不光是问题的思路难找，而且计算量大，特别是后面的解析几何和函数这两类题目的计算量更是惊人。如果把数学高考的时间拉长到四个小时，那么很多考生的分数会有所提升，因为计算的时间充裕了。

所以，计算熟练度在很大程度上决定了你的数学成绩。同样一张卷子，假定两个考生对知识点的掌握程度是一样的，但是一个人计算过关，一个人计算糟糕，两个人最后的分差达到 30 分是绝对有可能的。

然而令人遗憾的是，偏偏计算是最容易被忽视的地方。在课堂讲解的时候，几乎所有的老师都默认你计算过关了，但实际情况呢？呵呵，你自己心里清楚。

算得快就算不对，算对了就算不快。比如：。这一结果里要不是被我偷偷插进一个电话号码，我还真觉得挺像那么回事呢。这个结果是我随便打的，速度绝对快，但答案肯定错。当然，你吭哧吭哧地花三分钟做出来一个正确的结果，但因为速度太慢，其实也没有意义。

那么，如何把计算的准确度和速度有机地结合起来呢？首先，我们要来看计算错误是怎么产生的。

很多家长都会觉得孩子太粗心了，关于粗心的问题，我在后面会单独讲。

当然，除了摆正态度，还要有技术。

必须要明确一点：计算越复杂，出错的可能性就越大。我们对于简单运算出错的概率肯定小于复杂运算。也就是乘方、开方比乘除法容易犯错，乘除法比加减法容易犯错，抽象运算比具体运算容易犯错。

背平方表的直接目的就是把乘法变成减法来做。一般来说，如果一个人不用打草稿就能计算两位数乘以两位数，那已经可以认为这人的计算能力很强了。要达到这个目标，只要把平方表背熟了，就不是难事。

这里我们需要讲一个基本公式，即平方差公式

结合平方表，这个公式将大显神威。比如说 ，我们可以看成

是不是很快？换句话说，如果两个两位数的和是偶数，我们总可以把它们的积写成 和 这种乘积的形式，把乘法直接变成了减法来做！假定平方数是直接背出来的，这样减少了计算环节，自然正确率就提高了。仍然以 为例，如果你列竖式，要涉及 4 次乘法、4 次乘法进位和 2 次加法。而用平方差公式就只要一次减法。你觉得哪个正确率高呢？

我们来看一个很简单的概率题：假设你每次简单计算的正确率是 99%，9 次运算后的成功率就下降到 91.4%。所以对于上面这道题，你如果只做一次减法，解题成功率就是 99%。是不是很神奇？

比如 先算 ，按上面方法马上可以得到 1581，然后再加一个 31，那么就是 1612。具体怎么算，你可以自己试一试。

等娃能把整张表背会以后，家长自己每天就出 100 个题目考娃，十天半个月就能巩固得很好了。至于什么时候开始背平方表，我建议可以从三年级下学期或四年级上学期开始，孩子在这个时候的记忆力好，并且有一定计算的基础了。当然，孩子再大一点也没问题，初中之前都来得及。不过，假如年级太低了，对大多数学生来说可能并不好。一定要循序渐进，切勿操之过急，永远不要觉得自家孩子是天才，大部分的孩子只是平凡人。对孩子过高的期望是毁灭孩子的第一步。保持平常心。

但不得不说，如今很多中小学生家长展现出了极高的数学素养。以平方表为例，有的家长总结出了一堆规律：从 41 到 50，开头两位数就是从 16 到 25 这 10 个连续的整数，末两位就是从 81 到 00 这 10 个连续的反序平方数；若两个数之和为 50，那么这两个数的平方数的末两位相等。如果把这个规律拓展到 100 以内的平方表，我们发现两个数之和如果是 100 的话，那么这两个数的平方数的末两位数也是相等的；而且从 41 到 59，这 19 个数的平方数的前两位正好是从 16 到 34 这 19 个连续的自然数。不得不说，总结得非常漂亮！

为什么找到规律还要背平方表？我们又回到最初的问题：为什么要大家背平方表呢？不就是为了提升做题的速度嘛。

以前看过一个视频，武打明星梁小龙接受采访的时候和主持人玩了一个游戏：他捏一张十块钱的纸币，随时可能松手，然后让主持人做好准备去接，结果主持人每次都接不住。梁小龙的解释就是，你用眼睛看到纸币落下，然后再反应，这个时间肯定就不够了，只能凭感觉。

无独有偶，还有一个视频，就是路人甲戴上拳击手套去打一个职业拳手，职业拳手不还手、只闪躲，结果路人甲在一分多钟的时间内一拳都打不着人家。

这两个例子无非在说明一个道理：不要靠临场反应，要靠本能判断，要靠肌肉记忆。同样，理论上数学真的没什么需要记的东西，你如果基本概念够扎实，什么都能推导出来，但别忘了：考试是有时间限制的。

我一再强调：现在的数学考试玩的不光是难度，还有熟练度，你运算不够熟练是没有用的。所以正解还是要认真地去背。熟记平方表之后，如果孩子能够独立地发现上述规律，那就是非常棒的一件事；如果他发现不了，家长可以提示他：在这些数之间，你看有没有什么规律？

家长千万别自己找完了规律告诉孩子，那真的是毫无意义。人不渴的时候和快渴死的时候，拿到一瓶水的感觉是完全不一样的；一分钟对于在厕所坑位里的人和坑位外焦急等待的人，感受也是完全不一样的。我们把这个规律直接告诉孩子，最多换来他的一个“哦”，没准扭头就忘了。如果告诉孩子有规律，但不说破规律是什么，他在被折磨得快要“疯掉”的时候，自己突然悟出来了，这个东西他能记很久，信不信？哪怕孩子实在找不到，我们再告诉他，最终效果也比直接说出来要好。

那么问题又来了：既然要死记硬背，那么干吗还要规律？探索规律的过程本身就是一个不断提升数学水平的过程。规律重要吗？很重要，但在考试中，规律只能起辅助作用，这个一定不要弄反。

为什么两个数的和是 50 或者 100，那么其平方数的末两位数就相等呢？你把 和 或者 的平方形式写出来，就会发现一个是 ，一个是 ，两个数的平方数的末两位数只由 所决定，这就是规律背后的原理。

当然，我们还可以把平方表用得再灵活一些，让孩子从小学到初中的数学计算过渡能再自然一些，也就是说，让孩子从具体计算向抽象计算转变的时候能觉得不那么唐突。

事实上，我建议学生机械地背诵平方表的深层次原因是让他们更好地运用平方差公式。如果想让孩子有更好的体验，家长可以做这样一件事：请孩子分别计算 ，然后计算 ，一直到 25 的平方数，然后再计算十位数分别为 的情况。要不了多久，孩子就会发现计算结果的尾数呈现出一定的规律。

这种规律是巧合吗？当然不是，这背后就是公式在起作用。那么这种规律对于三位数、四位数是否成立呢？我们不可能穷尽所有这种类型的乘法，那该怎么证明这是对的？只有靠公式。做完这个实验之后，也许孩子背平方表的积极性会大增呢。

当然，如果说数学就靠死记硬背，很多娃会不服。我们接下来看一个高级的应用：求平方根。

平方根的计算难度当然比算平方要大许多。我们可以在网上找一下手动开根号的算法，都有详细的说明。当然，这些算法在理论上可以想要算到多精确就有多精确，但是有一个缺点——慢。

很多时候，我们并不需要那么高的精度，只要小数点后一两位就够了，此时如果我们利用平方差公式，就可以快速估算出平方根来。

比如我们要估算 11.122 131 231 341 342 342 341 231 312 083 193 201 829 的算术平方根是多少？

首先，这个数在 9 和 16 之间，所以算术平方根开出来一定是 ，但是这个结果显然太粗糙。我们把 11.122 131 231 341 342 342 341 231 312 083 193 201 829 扩大 100 倍，变成 1112.213 123 134 134 234 234 123 131 208 319 320 182 9，可以看出这个数在 1089 和 1156 之间，所以我们可以更精确地估计，这个结果应该在 3.3 和 3.4 之间。

如果我们要精确到小数点后两位或三位，该怎么办呢？这个时候我们看看如何发挥公式的威力。

首先我们看完全平方的公式：

我们设 ，其中 ，接下来只要估计出 的大小即可。

不难看出 的值已经很小了，如果再平方一下几乎可以忽略不计，因此我们可以把 用 来近似代替，则有

即

当然，这个计算看起来还是很麻烦，不过我们注意到这一长串小数的千分位以后的数字基本上不会对结果有什么影响，于是可以把这个值近似为 11.12，这样就容易计算了。我们估算的最后结果是 3.335，误差在千分之一左右，是不是很精确？

数字能“玩”到这种程度，平方表就没白学！

除此以外，我顺便介绍一些速算的小技巧。当然，我并不能让你达到参加《最强大脑》节目的那种程度，只是给你指一个提高运算速度和正确率的方向。

数学研究的一条重要规律，就是从熟悉到陌生。对于速算的方式，我们也采用此种方法。

比如：

从 875 剥离出 ，从 16 中剥离出 ， 得 14，后面再添 3 个 0。是不是很快？关键是还不容易错。

我们常说要做生活的有心人，事实上，我们也应该做学习的有心人。为什么能一下子想到 875 等于 ？如果联想到 ，这个拆分看起来就不那么突兀了。事实上，像一些常用的分数和小数的转化，包括循环节—— 的循环节是 ， 的循环节是 ，从 到 ，等等，这些就应该是在小学阶段熟记的内容。

假设，黎曼猜想好难 × 曼 = 好难黎曼猜想，问：“黎曼猜想好难”这几个字各代表什么数？简直张口就来：142 857。所以你说，积累重要不重要？

以上提到的需要背的数据只是一个基本范围，家长完全可以让孩子根据自己的具体情况总结。比如 就是个很有意思的结论，完全可以利用起来。从 3 到 27 之间所有 3 的倍数和 37 相乘，那么就可以得到 111、222、333……直至 999。还有像 ，等等。你和孩子觉得有意思的数都可以要求孩子记下来。死记硬背的可靠性大多比自己算要强，这是铁律！

还有高次幂背到多少的问题。一般我建议 2 要背到 16 次幂（即 65 536），3 和 4 背到 8 次幂，5 到 10 背到 4 次幂，11 和 12 背立方。对数的记忆到这里暂时就告一段落了，基本数据加上个性数据都掌握好了，对于孩子计算速度的提升是大有裨益的。

除了数学，物理中也会用到估算的技巧。而熟记这些数据对于估算速度的提高也会很有好处的。把数学当成语文来学习，这也是一种技巧——只有快速而正确的计算才是有用的。

再次强调：家长一定不要代劳，要让孩子自己去搞！要做学习的有心人，家长可以引导，但绝不能代劳，一定要让孩子自己总结，家长的作用就是监督和引导。要是你什么都代劳了，娃就完蛋了。你只负责出主意、动动嘴，不要嫌孩子磨叽，你看不下去就自己动手，那样的话，孩子只会越来越磨叽……对孩子来说，你就是“上级机关”，只给指导意见和检查，千万不能越俎代庖，切记！

感觉上面这段文字好像自带语音效果，说得有点声嘶力竭了。不过，太多糟糕的学习习惯都是在小学阶段“养成”的，所以还是有必要把规矩定好。别片面强调鼓励教育的作用，孩子真的不缺鼓励他的人。

小学数学的系统性相对而言是比较弱的，知识点比较零散，所以更加凸显锻炼计算能力的重要性。看似简单的两位数乘以三位数，本质上包含了对数的分解再组合的一个过程，依靠的就是数感。

我经常能听到家长抱怨孩子脑筋不会转弯，不会灵活运用知识点，然而“灵活运用”这四个字最早的体现就是在对数进行拆分以后的运算，也就是巧算上。连数的巧算这样的意识都没有，那么其他的巧妙运算还能得心应手吗？

对于普通的学生来说，学数学的一个很大误区在于“头痛医头，脚痛医脚”。这是非常常见的错误。仅仅从数的计算上，我们看到了触类旁通的重要性和可能性。想快速计算出数值，要有积累、会判断，能熟练正确移动小数点，最后还要验算。大多数人认为：“计算错误不过粗心耳。”事实上，这是因为没有养成良好的学习习惯。在很多人眼里不起眼的数的计算能给我们正确的理念——计算，是一切数学的基础。我们就是要通过机械记忆提升计算速度，同时降低出错的概率。

附：平方表