第五节 黏性土的被动土压力

一、填土表面无荷载的情况

如前所述，当填土处于被动极限平衡状态时，水平方向的正应力为大主应力σ₁，竖直方向的正应力σ₃为小主应力，同时填土中形成两组连续而对称的滑动面，滑动面与大主应力作用面之间的夹角为α=45°+，滑动面与小主应力作用面之间的夹角α₁=45°-，如图2-18所示。

此时根据土中应力的极限平衡条件［公式（1-13）］可得

式中 σ₁——土中的大主应力,kPa；

σ₃——土中的小主应力,kPa；

c——土的凝聚力,(°)；

φ——土的内摩擦角,(°)；

K_p——土的被动土压力系数。

由于此时小主应力σ₃等于竖直应力σ_z=γz，大主应力σ₁等于水平应力σ_x，即被动土压力p_p，故公式（2-207）又可写成：

式中 γ——土的容重（土的重力密度）,kN/m³；

z——计算点在土表面以下的深度,m。

由公式（2-208）可见，此时被动土压力强度由两部分组成，第一部分γzK_p是由土的自重所产生的被动土压力强度，它与计算点距土表面的深度z的一次方成正比，所以它沿深度成线性分布 （即三角形分布）；第二部分是由土的凝聚力c所产生的被动土压力强度，它是一个与z无关的常量，故它沿深度成均匀分布（分布图形为矩形），如图2-18所示。

由公式（2-208）可得挡土墙墙踵高程处的被动土压力强度为

作用在挡土墙上的总被动土压力P_p可根据公式（2-210）的积分来求得，即

总土压力作用点距墙踵点的高度为

二、填土表面有均布荷载的情况

当挡土墙墙高为H，墙面光滑竖直，墙背面填土为黏性土，填土表面水平，其上作用均布荷载q（图2-19），填土的容重为γ，凝聚力为c时，填土的被动土压力仍可按前面所述的方法来计算。

对于填土表面以下深度为z的一点，此时该点处的竖向应力σ_z=（q+γz）=σ₃，而水平应力σ_x=σ₁=p_p，故由公式（2-207）可得该点处的被动土压力强度为

由公式（2-212）可见，此时被动土压力由三部分组成，即均布荷载q产生的被动土压力强度qK_p，填土自重产生的被动土压力强度γzK_p和凝聚力c产生的被动土压力强度，其中qK_p和为常量，与计算点深度z无关，故这两部分被动土压力强度沿填土深度为均匀分布 （分布图形为矩形），而γzK_p与计算点的深度z的一次方成正比，故这一部分被动土压力强度沿填土深度为线性分布 （分布图形为三角形）。

根据公式（2-212），当z=H时，可得挡土墙墙踵点高程处的被动土压力强度为

作用在挡土墙上的总被动土压力为

总被动土压力作用点距挡土墙墙踵点的高度y_p可根据力矩平衡原理求得，即

三、填土表面以下有地下水的情况

当挡土墙背面填土内有地下水，地下水面以上填土层的厚度为H₁，填土的容重为γ，凝聚力为c₁，内摩擦角为φ₁；地下水面以下填土层的厚度为H₂，填土的容重（浮容重）为γ′，凝聚力为c₂，内摩擦角为φ₂，挡土墙的高度为H。此时被动土压力可分为下列两种情况来计算：第1种情况是γ>γ′，c₁=c₂=c，φ₁=φ₂=φ；第2种情况是γ>γ′，c₁>c₂，φ₁>φ₂。

1.当γ>γ′，c₁=c₂=c，φ₁=φ₂=φ时

此时作用在填土表面以下深度z处的被动土压力强度为

式中 K_p——被动土压力系数。

在地下水面高程处，被动土压力强度为

在挡土墙墙踵点高程处的被动土压力强度为

作用在挡土墙上的总被动土压力为

总被动土压力作用点距挡土墙墙踵点的高度为

2.当γ>γ′，c₁>c₂，φ₁>φ₂时

此时填土表面以下深度z处的被动土压力强度为

式中——地下水面以上填土的被动土压力系数。

由于地下水面以上和地下水面以下填土的内摩擦角φ和凝聚力c各不相同，故此时地下水面高程处的被动土压力强度有两个。

（1）在地下水面以上微小距离处：

（2）在地下水面以下微小距离处：

式中——地下水面以下填土的被动土压力系数。

在挡土墙墙踵高程处的被动土压力强度为

挡土墙上被动土压力的分布如图2-20所示。

作用在挡土墙上的总被动土压力为

总被动土压力P_p的作用点距挡土墙墙踵点的高度为

四、填土表面有均布荷载和填土内有地下水的情况

当填土表面作用均布荷载q，填土内有地下水，地下水面以上填土层的厚度为H₁，填土容重为γ；地下水面以下填土层的厚度为H₂，填土容重（浮容重）为γ′。地下水面以上和地下水面以下填土的内摩擦角均为φ，凝聚力均为c，如图2-21所示。

此时填土表面以下深度z处的被动土压力强度为

式中 c、φ——填土的凝聚力、内摩擦角，（°）；

K_p——填土的被动土压力系数。

地下水面高程处的被动土压力强度为

地下水面以下深度z′处的被动土压力强度为

挡土墙墙踵点高程处的被动土压力强度为

作用在挡土墙上的总被动土压力为

总被动土压力作用点距挡土墙墙踵点的高度为