1.2　如何发明数学概念

我不能创造的东西，我就没有理解。

——理查德·费曼（Richard Feynman），写在他去世时的黑板上

在发明微积分之前，我们首先需要知道如何发明，尤其是如何发明数学概念。我们将用两个简单的例子演示创造过程：长方形的面积和直线的斜率。^[1]无论你是不是已经知道计算这些都没有关系，所有人都能从对这些问题的讨论中有所收获，无论是对概念的理解还是对教学，因为一般很少讨论发明的过程。

当我们从零开始发明数学，总是从直觉性的、日常的人类思维开始。发明数学概念的过程就是尝试将模糊的定性思维变成精确的定量概念。没有人能真正看到5维、17维或无穷维空间的事物，那么数学家是怎么定义“曲率”之类的事物，从而可以谈论高维对象的曲率呢？这些定义通常都极为抽象，要“看清”真相，似乎需要超人的高维直觉能力，数学家是如何得出他们的定义的呢？

这个创造过程看似神秘，其实就是从定性转变成定量的过程。所有层次的数学课，无论是小学还是博士后，都应当增加对创造过程的讲解，减少对加、乘、线、面、圆、对数、西罗群、分形和混沌、哈恩-巴拿赫定理、德拉姆上同调、层、概形、阿蒂亚-辛格指标定理、米田嵌入、托普斯理论、超不可达基数、反推数学、可构造全集等内容的讲解，这对创造过程的认识重要得多。

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[1]后面我们会发现这两个概念是所有微积分的基础。后一个概念是“导数”的基础，前一个则是“积分”的基础。这些概念是相互对应的，所谓的“微积分基本定理”描述的就是它们的对应关系。