1.2.4　任意和必然：发明斜率

对课堂讲授的一个古老定义：老师的课本上的内容转移到学生的笔记本上的过程，没有经过双方的大脑。

——达莱尔·哈夫（Darrell Huff），《统计陷阱》（How to Lie with Statistics）

当我们第一次听到数学中“斜率”的概念时，他们通常是告诉我们说它是“平移的同时爬升”，简单介绍一下后，就开始举一些例子。我从没有听到谁解释说为什么不是“爬升的同时平移”或“平移98爬升52”，你可能也没有这样做过。想知道为什么他们不告诉我们吗？那是因为我们可以将斜率定义成“爬升的同时平移”或“平移38爬升76”或其他任何疯狂的东西！这完全取决于我们想将多少模糊的关于“陡峭”的日常经验改造成数学概念，我们选择怎样做，以及我们认为怎样是合理的。不仅如此，我们对形式化定义的选择往往取决于我们对美的主观偏好，而且依赖程度高于人们的想象。

这一节的目的是通过发明陡峭度（或更常用的“斜率”）的概念来展示为何是这样。这个过程要比发明面积复杂，不过不用担心。无论哪种，发明的过程本质上都遵循相同的模式。

我们知道“陡峭”一词日常的非数学的意义，我们想用这个日常观念构建精确的数学概念。为了让事情简单一点，我们先关注直线，然后到第二章发明微积分时再来处理弯曲的东西（其实也就是通过放大让它们看起来像是直的）。因此在这一节，当我谈论“山”或“陡峭的东西”时，我说的都是直线。

我们可以将陡峭（Steepness）缩写成字母S，但我们还不知道关于它的任何数学，因此我们写不出任何东西，除了

S=？

那么我们的日常观念到底是说的什么呢？它有什么属性？当我们用非数学的“陡峭”概念进行推理时，我们隐含地赋予了它什么性质？在决定如何转化为数学之前，我们需要了解一下我们的日常观念的细节。

假设你在另一个大陆醒来。周围没有人。你不知道自己所处的经纬度和海拔，没有一点概念。你看见远处有一座山，你决定过去看看山的另一边有什么。在你爬山的时候，你发现这座山很陡峭，因此你想是不是回头试试别的方向。

上面这段揭示了我们对日常观念的一些直观认识，太过显然以至于我们通常不会费力去提及它，但是明确这些认识将对从定性到定量的转变有很大帮助。也就是说，虽然你在爬山的时候不知道自己在哪里，你还是知道山很陡峭。无论我们是走路还是坐飞机爬山，都不会改变它的陡峭程度。

这个思想的另一种表述方式是陡峭不单独取决于你的垂直或水平位置。山的陡峭程度不是它所处的水平或垂直位置的内在属性。它是我们在爬山时垂直位置变化的属性。但它不仅仅是垂直位置变化的属性。如果你沿一条不陡峭的路走10公里，你到达的位置可能会比你出发时的位置的海拔高100米，但如果在水平1米的距离内要你爬升100米就几乎是不可能的。因此，根据我们模糊的、定性的、前数学的陡峭概念，我们知道：

下面我们可以给出一些缩写。我们可以将上面的语句缩写为

S（h，v）=？

陡峭仍然缩写为S，新的缩写符号h和v分别表示水平（Horizonal）和垂直（Vertical）位置的变化。例如，如果在地面走6米然后爬到3米高的树上，h就是6米，v则为3米。注意h和v只有决定了起点和终点这两点之后才有意义。那么当我们写下S（h，v）=？时是在谈论哪两个点呢？我们没有说。现在我们还只是在玩缩写游戏。但是语句S（h，v）=？说的是陡峭的概念只取决于垂直位置的变化（h）和水平位置的变化（v），而不是位置本身。

现在，既然h和v都是比较两个点得到的量，我们在谈论山的陡峭程度时就得选择两个点，因此（就我们目前所知）一条线的陡峭程度可能随着选择哪两个点而变化。但这似乎也不太对，因为直线是直的。至少就日常经验来说，一条直线只有一个陡峭度。它不应当取决于我们选择什么点。我们可以尝试把这个直观认识写成数学：

很好！在我们对于陡峭度的日常经验中有一些绝对成立的东西，我们要迫使陡峭度的数学概念也有这样的性质。

图1.8将这个思想画出来了。由于陡峭度与差异有关，因此我们需要用两个点来计算它。假设我们在直线上取了两个点，水平距离为h，垂直距离为v。图1.8左下角的小三角形对应了这样的两个点。现在如果我们在同一条直线上另选一对点，得到的陡峭度应当是一样的。例如，假设我们在这条直线上选取水平距离为2h的两个点（水平距离正好是前面那两个点的两倍）。因为是直线，很显然垂直距离也应当是两倍，即2v。（请确定自己明白这为什么是对的。图1.8会有助于理解。）但是根据“日常经验告诉我们的第二件事情，”无论选取哪两个点，陡峭度都应当是一样的。我们可以用下面的语句将这个直觉转化为数学：

S（h，v）=S（2h，2v）。

然后我们注意到这里的数字2并没有什么特别。如果我们将h增大到3倍，v也会增大到3倍，陡峭度还是应当保持不变，因为我们谈论的仍然是同一条直线。对于任何整数这个论断都应当成立，从而得到S（h，v）=S（＃h，＃v），其中＃是任意整数。

不仅如此，当＃不为整数时这个论证也同样成立。例如，如果将h减半，则v也应当减半，因此S（h，v）=。这是对我们关于陡峭度的直觉认识的扩展，我们离精确定义又近了一步。我们可以一次性写出来：

S（h，v）=S（＃h，＃v）。　（1.4）

其中＃可以不是整数。这个式子很干净，它告诉了我们关于“陡峭度”的许多事情。例如陡峭度不能定义成S（h，v）=h，因为h=＃h不成立！同样也不能定义成S（h，v）=hv、S（h，v）=h+v、或S（h，v）=33h⁴²v⁹⁹之类的形式。

事实上，我们越琢磨这个等式（1.4），越感觉到它有用。似乎两边的＃被“抵消”了。我们可以尝试各种想法，列出能够成立的（也就是能够推出等式（1.4）的）。下面列举了一些。（注：在下面的式子中，符号？表示“这些是可供选择的定义，但我们还没有选定。”）

1.成立。这是“平移的同时爬升”。

2.也成立。这是“爬升的同时平移”。

3.成立。这是“平移的同时爬升”的平方。

4.成立。这个太疯狂了。

琢磨一会儿，就会发现所有只依赖于（h/v）或（v/h）的机器都能成立。^[1]也就是说，只要在对机器的描述中h或v不单独出现，而是以（h/v）或（v/h）的形式同时出现，就能成立。为什么需要这样？因为如果不这样就很难知道如何把等式（1.4）中的数“抵消”掉。也许能找到其他抵消的办法，但我们不想费那个劲！

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[1]由于h/v=（v/h）^-1，我们也可以说“所有只依赖于量（v/h）的机器”，但我们还没有提到负指数，因此不能拿来用。在我们的世界里，还没有它们。