1.2.7　用言语总结发明的过程

我们在前面详细地展现了发明的过程，因为有必要给出一些简单的例子，完整呈现数学概念的发明过程，澄清每一个步骤，以及这些步骤的必然结果和每一步的原因。理解发明的过程非常重要，因此我们来总结一下做了哪些事情，首先用言语表述，然后一次性列出我们发明的所有数学。为了节省空间，我们将短语“否则就不是一个好的定义”缩写为ONGT。所有数学概念都是这样发明的：

1.你从想要概括的日常概念开始。^[1]

2.通常你会对概念应用的简单、熟悉的场景有一些想法。当面临不那么熟悉的场景时，你以这些简单情形为基础决定你的新概念有怎样的性质。例：无论“面积”如何定义，当你将矩形的边长加倍时，面积也应当加倍，ONGT。无论“陡峭度”如何定义，直线的陡峭度应当处处相等，ONGT。还有一个我们还没做的：无论“曲率”如何定义，圆或球的曲率应当处处相等，直线或平面的曲率应当为0，ONGT。

3.你要求你的数学概念在简单情形中表现的性质类似你的直观概念，有时候对这些简单情形的直接推广也这样要求。

例：我画不出5维的立方体，但它的“5维体积”应当是l₁l₂l₃l₄l₅，ONGT。我画不出10维的球面，但它的曲率应当处处相等，ONGT。我画不出52维的“直线”或“平面”或管他什么东西，但它的曲率应当为0，ONGT。

4.有时候你发现你所有模糊的、定性的要求，一旦缩写为符号语言，就完全锁定了一个精确的数学概念。

5.有时候，你施加的所有直觉要求可能不足以分离出唯一的数学定义。没关系！这时候，数学家通常是看看有哪些候选定义符合他们所有的要求，然后选出最漂亮或最优雅的那个。你对那些定义不清的美学概念进入数学可能会感到吃惊。不用奇怪。

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[1]一旦我们发明了一些数学，用来作为创造过程的原材料的“日常概念”将把之前已经发明的更简单的数学概念也包括进来。例如，在将第2章发明的微积分的基本概念一般化为无穷维空间中的相关概念时，在书最后的第N章将对此进行讨论。随着我们对数学世界的探索越来越深入，日常概念与数学概念之间的界限也会变得越来越模糊。