- 烧掉数学书：重新发明数学
- (美)杰森·威尔克斯
- 5619字
- 2021-08-06 19:01:54
前言
——戴维·福斯特·华莱士与劳瑞·麦卡弗里的谈话
——扬·马特尔《标本师的魔幻剧本》（Beαtrice and Virgil）
烧掉数学书
好吧，不要真把数学书或数学教室烧了。也不要做其他过激的事情，纵火是很严重的罪行。我……，我不想这样开始我的书。
（作者思考了一会。）
好吧，我想明白了。对不起！
（嗯。）
我们应该感到生气。一些美好的事物被偷走了，而我们却从未感觉到失去过，因为早在我们出生之前就被偷走很久了。假设由于某种历史的偶然，使得我们都认为音乐是沉闷而乏味的事情，那么，不到迫不得已我们不会去碰。假设我们从小就上音乐课，音乐老师不断用可怕的表演折磨我们，以至于我们都深信音乐只是在葬礼上有用，那么我们可能会认为每个人都应该了解一点音乐，但只是出于实用的目的：你需要音乐是因为在（极少的）一些场合可能对你有用。但大家对音乐的认识更像是某种工具而不是艺术。
当然，世界上仍然会有许多艺术家。就像现在一样。我说的艺术家不一定是艺术院校的学生，或是职业艺术家，或是那些坐在马桶上创作作品然后放到博物馆去的人。我说的是创造新事物的人；坚持做自己的那些人；用自己的方式打破现实，让你能用神经末梢真切感受到的人；同世界抗争，以至于经常会夭折的人。我们会认为，“音乐不适合他们，音乐是为会计师那样的人准备的，我们最好别碰。”这种情形看似荒诞，数学却正是这样。数学从我们身边被偷走了，现在是时候将它找回来。
在这本书中，我将进行思维的纵火。全世界的数学教育都退步到了让人无法忍受的地步，只能全部烧掉重来。我们要做的就是这个事情。在这本书中，数学不再是已经存在的只需要你去理解的科目。在开始的时候，数学并不存在。我们从头开始自己发明，扔掉历史的包袱，不用那些堆砌在每本数学书中的晦涩的符号和故作神秘的术语。我们并不排斥传统的术语，但只是在需要的时候才会用到，而我们所创建的数学世界完全是我们自己的，传统术语只有经过邀请才能进来。
在这个过程中无需记忆，鼓励尝试，不要求读者接受任何不是我们自己创造的东西，不让名字的花哨掩盖思想的简单。在这里了解数学就好像一次冒险，采取的是聊天的形式，读起来就像读小说一样轻松。我们旅行的目的是寻找快乐而不是为了实用，但幸运的是两者并不矛盾。你将会真正地学会这个科目，并且学得又多又好。
在讲述数学的时候不要求听众接受已经确立的一些事实，这其实与现有的数学教育的一个悲剧有关，这个悲剧即使是正统教育最苛刻的批评者也从没有指出来过：
我用自己的例子解释一下这句话的意思。我的初等代数的成绩是C。我所学会的只有对“多项式”这个词的恨。我的三角函数的成绩也是C。我所学会的只有对“正弦”“余弦”和“直角斜边”这些词的恨。数学对我来说只是记忆、无聊和专制的权威——而这些都是我最讨厌的。到高中快毕业时，我终于完成了所有那些不得不学的数学课，我快乐的心情无法形容，我宁死也不愿再踏足数学课堂一步。终于自由了。
在高中的最后一年，有一次我到书店闲逛——我经常去逛书店——我看到了一本微积分的书。我早就听说微积分很难，但我从没上过这门课，以后也不用上了……真轻松。心里没有压力有时候反而会让一本书更有吸引力，因此我把那本书拿到手里翻了一下。我预计自己会看到一些唬人的符号，心想“噢，看起来很难，”然后把书放回去，再也不去碰它。但是当我翻开它时，我发现里面并不是常见的那种垃圾。作者的语言诚恳而平实，说的话类似这样：直的东西比弯曲的东西容易对付，但如果你放得足够大，弯曲的东西的每一小部分看起来都基本是直的。因此如果你有一个弯曲的问题，只需想象不断放大直到看上去像直的，在比较容易的微观层面解决问题，然后再缩小回去。你就把问题解决了。
这个思想让任何人都能理解，完全不用涉及数学。如果你遇到了难题，可以将其分解成一系列比较容易的问题，解决后再组合到一起。这个思想让我感觉到优雅而自然，我在数学课上从没有过这种感觉。我继续翻阅这本书，当我看到作者抱怨数学传统的授课方式时，我知道这个家伙很对我胃口。
因此我把这本书买了回去，没事的时候就拿出来读。我喜欢这个作者的写作方式。他驱除了我在学校时对数学的厌恶感，让我意识到自己对这门课的认识是错误的。我没有打算学习微积分，我也不记得高中学过的那些预备知识，因此我连微观层面上的那些“简单问题”也解决不了。但没关系，我已经摆脱了正统教育的束缚，做错了也不用担心受到惩罚。
就这样我开始了学习微积分的奇怪历程，不懂代数、三角，也不知道“对数”是什么，不知道任何他们说的你在学微积分前必须掌握的东西。我买了一个笔记本开始演算。当我遇到不懂的东西时，我就画图，尝试让自己确信这是对的。我其实经常并不能成功。
奇怪地是，微积分的概念其实是这本书中最简单的部分。难的反而是那些所谓的微积分的“预备知识”：代数、三角等高中课程中充斥的概念。我能理解与缩放有关的东西：导数和积分不仅计算很简单，原理也很容易理解。从它们的动机到定义再到计算方法，书中都讲述得条理清晰。但偶尔作者也会用到更“基础”的东西——这些东西我完全无法理解，虽然我大致记得在某个乏味的课堂上听老师讲过。我当时不知道那些被认为很简单的事物——比如圆的面积，或一组未经解释的“漂亮等式”——从何而来。
幸运的是，没有人逼我去记忆什么，我就这样一点一点地学着微积分，代数和三角则一点也没学。我在书中学会了一些微积分的知识，也能够理解，但很快就会迷失方向，因为我不记得怎么做分数加法。有时候，盯着那些让人迷惑的步骤看了一会之后，我会恍然大悟，“哦，它们只是乘了两次1。它们就好像是在撒谎，好让问题变得更简单，然后为了不得出错误的答案又圆回了这个谎。有意思……”有时候则不那么容易看出来，这类问题继续困扰我。对数、正弦、余弦、二次式、完全平方，这些名词我都不懂，对于它们我只有在学校里学这门课时残留下来的一点负面印象。
学了一些微积分后，我还是不懂那些“预备知识，”但我开始注意到一些有趣的东西。我注意到球的体积的导数就是它的表面积，圆的面积的导数则是它的周长。我还是不懂面积和体积公式是怎么得出来的，但这种奇怪的“放大”操作表明它们有某种关联。这是我第一次意识到数学的一个奇怪现象：我们可能在面临两个不同的问题时束手无策，两者都无法单独推进，然而却能知道它们有相同的答案，虽然并不知道答案是什么。这个现象初看上去有点像魔法，其实是所有层面的抽象数学最重要的一个特征。这与我在学校里形成的对这个科目的刻板印象截然不同。
在进人大学的时候，我做了一个惊人的决定：我决定选微积分课。作为一个每个脑细胞都恨数学的人，由于书店里的这次偶遇，我发现自己喜欢上了微积分Ⅰ。然后又上了微积分Ⅱ。然后教我微积分Ⅱ的教授建议我大二的时候上一门研究生水平的数学课。我提醒他自己什么也不懂，他这样做是疯了。不过我还是选了，并且得了最高分。进人高年级后，系里给了我奖励，大意是“祝贺成为数学专业最好的学生”之类的。我必须强调的是我完全没有数学天赋，读大学之前13年的数学教育经历中我没有在这门课中发现任何乐趣。任何教育体系中如果发生了这样的事情，就一定存在可怕的错误。
最后，数学系这个我在中学时最讨厌的地方，成了让我感到最自在的地方。[1]大学毕业后我去了阿尔伯塔大学攻读数学物理学博士学位。在一年级暑假，我一贯不按常理出牌的行为模式再次发作，我迷上了心理学和神经科学。我申请了攻读这个方向的博士，居然被接受了，就这样我带着硕士学位离开了数学物理专业，现在我在加州圣塔芭芭拉，用数学研究大脑和行为。在进人心理和脑科学系的第一年，我遇到了不计其数的聪明学生，他们和高中时的我一样恐惧数学。每当我看到在谈及高等数学时他们眼中流露出的怯意时，我都想告诉他们，他们对这个学科的感觉是错误的，他们感觉到的困难完全是教学方式导致的，这样的方式我也不喜欢。如果在这本书中有需要你去反复理解，却又无法理解的地方，这是我的错，而不是你的。背后的思想极为简单。全部都是如此。我向你保证。
在圣塔芭芭拉的第一年，我意识到，如果做科学研究的每个人都能多懂一些数学，各个领域都将得到有力地推动。我说的“多懂一些数学”不是说“在头脑里记忆更多数学知识”，而是说“更熟练地抽象推理”。就数学“天赋”来说，十个人中肯定有九个人都比我强（不管天赋指的是什么）。我之所以比我的研究生同学懂得多一点点，纯粹是由于在书店中的那次偶遇，让我爱上了这门学科。
我是为所有恨数学的人写这本书的。不仅仅是年轻人和已经放弃了的人，也包括许多不喜欢数学，只将其视为必备的职业技能的科学家，以及虽然在这方面很努力，但从未感觉到激情、狂热和发自内心的喜爱的人。这将是充满乐趣的旅程，除非我失败了。[2]然而，我必须强调的是，这并不是又一次“让数学有趣”的尝试，这类尝试往往是流于表面的新瓶装旧酒。虽然这些尝试相对于标准教科书有那么一丁点改善，这类书籍讲述数学的方式还是没有达到我的期望：明确指出所有任意给定的东西，所有那些看起来天生就是那么回事的东西只是因为曾经有人（有意或无意地）想要是那么回事，将历史的偶然与必然的推理过程分开，承认大部分时间里大部分学生在大部分数学课上感受到的蔑视是因为传统的教学方法将乐趣弄丢了，并且更重要的是：是反着来的。
现代教育机构教授数学的方式在某种程度上并不适合具有创造性和独立思考能力的人，那些想弥补这个缺陷，用“有趣的函数和它们的奇妙图形”作为章节标题的书并不能减轻大部分学生对这门学科的陌生感。[3]而数学本身，如果剥去不必要的浮夸的东西，尽量展示出最真实的一面，将是人类所能发现的最美的事物。它本身就是一种科学的艺术形式，不需要标榜自己“有用”，虽然一旦学会了它就是对你最有用的东西。
在我们的旅程的每一处，我都会集中在我认为最重要的思想上，无论它们典型的讲述方式是怎样的。虽然我们是从最基础的层面开始的，但最终我们会学到数学专业在大学最后一年才讲授的一些东西。我还从没有看见哪本书从加法和乘法开始一直讲到无穷维空间的微积分。如果你能坚持读下去，我希望你会发现这并不是天方夜谭。
在呈现这些思想之前，我会尽量将概念分解开。很多课程的讲授方式都是将精髓与历史的偶然混在一起，即使对于注意力最集中的学生，这种混杂也会掩盖背后的思想的简单性。我一直希望学术界在写书和讲课之前能多花些时间尝试厘清这种混杂。在这本书中我做了这种尝试，比如第4章“论圆和放弃”的前几页，就是这种例子。另外在我们发明微积分后很久，圆才被引人进来。也应当如此，如果在前面引人会让人极为困惑。
有一个例子能说明我们的不同之处。“勾股定理”是我记得的在高中数学中学过的少数事物之一，但我不知道它为什么是对的，也不知道我们为什么要学，我不喜欢这个奇怪的名词。我们将这样避开这些问题：我会用“捷径”这个词而不是“直角三角形斜边”，我会用更容易理解的名词替代“勾股定理”，我也会给出我所知的它为什么成立的最简单的解释（大概半分钟就能讲清楚），而一旦我们自己发明了它，我们就能简单推演出当你移动的时候时间会变慢的事实。[4]这个事实来自爱因斯坦的狭义相对论，但对它的解释无需比“勾股定理”更复杂的数学思想，因此到时候你可以彻底理解它。当然，结论依然很惊人。对于任何具有正常思维的人来说都很惊人，无论你知道它多久了！一旦我们发明了关于捷径的公式（也就是所谓的勾股定理），其中的论证就很容易理解了，让人遗憾的是，这样简单的论证不是高中几何必须讲授的内容。他们应当在讲完勾股定理后就马上开始摇铃铛和抛洒彩条，然后向你解释这个现象。但是他们没有。不过没关系，我们来做。[5]
这本书打破了许多传统和规矩，也许太多了。没有哪种学习方式适合所有人，这本书也不是数学教育的万能解药，我也不能保证这本书适合所有人的学习风格。如果这本书不适合你，请停止阅读另找一本。你的时间很宝贵，不应当在一本不对你胃口的书上浪费时间。我写这本书是因为热爱，因为快乐，而不是为了完成工作。你读这本书也应当是出于同样的理由。
无论这个实验是否会具有长久的价值，教育都必须进行大刀阔斧的改革。就其目前的状态来说，各层次的教育机构——从小学到研究生到学术期刊的风格偏好——的设计似乎都是为了引发某种反向的斯德哥尔摩综合征，使得我们诅咒本应当热爱的学科。从这些机构毕业的学生对脑袋中填满的各种人类所发现的知识深感厌倦。如果他们感到数学、物理、进化生物学、分子生物学、神经科学、计算机科学、心理学、经济学等学科都很乏味无趣，这不是他们的错。这是只擅长压抑创造性的教育体系的错；这个体系只会自欺欺人地教授学生背诵各种名词，而不是教他们思考；在这个体系中，对待自然规律的方式与对待句子末尾不能用介词之类的专断禁令的方式是一样的，就好像它们在描述自然现象时具有同样的效力；而我们年轻时的大部分时间都不得不待在这个体系中。这本书是给所有曾经有类似经历的人的一封致歉信。
[1]我在大学里幸运地遇到了很好的老师，我首先要感谢的是里克·科利马和维基·科利马夫妇、埃里克·马兰德和吉夫·希斯特。我遇到过许多好老师，但这几位老师对我帮助尤其大，还经常把我叫到办公室问我一些与课程无关的古怪问题。
[2]（当然）上面这句话是作者写的，一个不应受到信任的人的偏激想法。不过基于同样的原则，前面这句话也不应当信。我们似乎陷入了僵局。你爱怎么想就怎么想吧。
[3]客观地说，这其实是一本写得很好的书的章节标题。马克·瑞安，希望我们哪天能见个面。你是很棒的老师。
[4]更准确的说法是，当两个物体以不同的速度或朝不同方向运动时，它们的“时钟”运行的速度会变得不一样。但这并不是时钟的特性。这是时间本身的物理属性。宇宙很疯狂。更疯狂的还在后面！
[5]你得自己准备铃铛和彩条。不是我不愿意给你提供，只是怕到时候我不在场。