3.1　平面汇交力系的合成与平衡

3.1.1　力在坐标轴上的投影

设力F与x轴的夹角为α，如图3-1（a）所示，力在坐标轴上的投影定义为力矢量F与x轴单位向量i的标量积，记为

在力F所在的平面内建立直角坐标系xOy，如图3-1（b）所示，x轴和y轴的单位向量分别为i和j，由力的投影定义，力F在x轴和y轴上的投影为

其中cos（F·i）、cos（F·j）分别是力F与坐标轴的单位向量i、j夹角的余弦，称为方向余弦，（F·i）＝α、（F·j）＝β称为方向角。

在图3-1（b）中，若将力F沿直角坐标轴x和y分解得分力Fx和Fy，则力F在直角坐标系上投影绝对值与分力的大小相等，但应注意投影和分力是两种不同的量，不能混淆。投影是代数量，对物体不产生运动效应；分力是矢量，能对物体产生运动效应；同时在斜坐标系中投影与分力的大小是不相等的，如图3-1（c）所示。

力F在平面直角坐标系中的解析式为

若已知力F在平面直角坐标轴上的投影为Fx和Fy，则力F的大小和方向为

力既然是矢量，就满足矢量运算的一般规则。根据合矢量投影规则，可得到一个重要结论，即合力投影定理：合矢量在某一轴上的投影等于各分矢量在同一轴投影的代数和。

3.1.2　平面汇交力系合成的解析法

平面汇交力系是指各力的作用线都位于同一平面内且汇交于一点的力系，它是一种最简单的力系。设一平面汇交力系由F1、F2、…、Fn组成，如图3-2所示，于是根据合力投影定理，有

从而可得

3.1.3　平面汇交力系的平衡

平面汇交力系平衡的充要条件是该力系的合力FR等于零，由式（3-6）可得

为使上式成立，必须同时满足两个方程，即：

故平面汇交力系的平衡方程有两个，因此，最多可以求解两个未知数。

【例3-1】图3-3（a）所示拖拉机的制动蹬，制动时用力F踩踏板，通过拉杆CD使拖拉机制动。设F＝100N，踏板和拉杆自重不计，求图示位置拉杆的拉力FT和铰链B处的支座反力。

解：（1）取研究对象，作受力图。因为踏板ACB上既有已知力F，又有未知力FT和B处的约束反力，所以取ACB为研究对象。注意到ACB上受有F、FT和B处约束反力FB，三个力作用下维持平衡，故可用三力平衡汇交定理确定FB的方向。至于FB的指向，可先假设，待计算之后根据FB的正负号再判断其真实方向。

另外，拉杆CD是二力杆，按二力平衡公理可直接确定C端约束反力的方向。因此，不必单独取拉杆CD作为研究对象，受力图如图3-3（b）所示。

（2）列平衡方程式。

1）选择平衡方程的类型。由于ACB上受一个平面汇交力系作用，故应选用平面汇交力系的平衡方程，即式（3-7），共有两个投影式。

2）选择投影轴如图3-3（b）所示。

列方程

3）解上述方程组得

最后由计算结果知：FB为正值，说明受力分析时假定的方向与实际方向一致。

分析讨论：

本例中所研究的力系是由三个力组成的平面汇交力系。对于这样的问题，亦可采用几何法求解，即利用平面汇交力系平衡的几何条件，将三个力组成自行封闭、各力首尾相接的力三角形，并根据几何关系求得未知力FT与FB。力三角形如图3-3（c）所示。

根据正弦定理可以解出

按力三角形自行封闭的矢序规则，可确定出FB的方向。

【例3-2】　铰车系统如图3-4（a）所示。其中直杆AC和BC铰接于C点，自重不计。C处滑轮尺寸不计。重物P＝20kN，通过钢丝绳悬挂于滑轮上并与铰车相连。试求平衡时杆AC和BC所受的力。

解：由题意，滑轮尺寸不计，而AC和BC均为二力杆，因此，本题中各个力都交于C点，构成一个平面汇交力系，可取销钉C作研究对象，其受力如图3-4（b）所示，很容易得到绳的张力均为P，即FT1＝FT2＝P。

对于平面汇交力系，应选用方程式（3-7），可以列出两个投影方程。注意到力系中的两个未知力FAC和FBC互相垂直，于是就按它们的方向取投影轴，从而得

这样选择投影轴的好处是：由于坐标轴的方向刚好与其中一个未知力垂直，从而使得每个投影方程中只包含了一个未知量，不需要解联立方程，很容易从中解得

假如当初不这样选取投影轴，而是以水平方向和铅垂方向为投影轴，则得到的方程组将是一个联立的方程组，虽然也可以得未知反力FAC和FBC，但求解过程将比较繁琐。

另外，在所得到的结果中，FAC是负值，表明其实际方向与假设的方向相反，即AC杆与BC杆一样，均受压力。

还需说明，本题虽然也是平面汇交力系问题，但却不宜用几何法求解，因为共有四个力，将构成一个不规则的四边形，几何法求解比较麻烦。因此，解析法比几何法实用性更强。