1.4.2 基尔霍夫电压定律

基尔霍夫电压定律，简称为KVL，又称为回路电压定律，表述为：在某一时刻，对电路中的一个回路，沿该回路绕一圈，所有元件上电压升之和恒等于电压降之和，即

如果约定，沿回路绕行一圈时，元件上电压升高，在电压前取“+”号，元件上电压降低，在电压前取“－”号（反之亦可），则可将KVL表述为：在某一时刻，对电路中的一个回路，沿该回路绕一圈，所有元件上电压的代数和为0，即

式中，U_i为回路上升高或降低的电压。

下面以图1.18所示电路为例，介绍如何运用基尔霍夫电压定律对回路列电压方程。此电路有A、B、C、D共4个节点，3个网孔，6条支路。

首先，对每条支路标上电流及其参考方向，然后对每个元件标上电压及其参考方向，并尽量使同一个元件上的电压参考方向与电流参考方向关联。

然后，选择包含电压源E₁的网孔，取各元件两端的电压。因为它是一个回路，可以运用基尔霍夫电压定律列电压方程，假设从A点出发，顺时针转一圈回到A点：在向上经过电压源E₁时，按照E₁参考方向可知，电压是从“－”端到“+”端，电压升高，所以电压取E₁；水平向右经过电阻R₆时，电压是从“+”端到“－”端，电压降低，所以电压取－U₆；经过电阻R₁时，电压降低，取－U₁；经过电阻R₅时，电压升高，取U₅。

最后，根据式（1.10）列回路电压方程，即沿回路一圈所有电压的代数和为0，有

即

同理可得，对包含电压源E₂的网孔，顺时针转一圈，其回路电压方程为

对包含电阻R₁、R₂和R₃的网孔，从C点出发顺时针绕一圈，其回路电压方程为

更进一步，如果对每个电阻运用欧姆定律，就可以用电流来表达电压。对电阻R₆，因为流过它的电流I₆与它两端的电压U₆的参考方向关联，根据欧姆定律可得

需要注意的是，如果电阻上电流参考方向和电压参考方向非关联时，欧姆定律的表达形式，与两者参考方向关联时的表达形式相比，刚好多了一个负号，见式（1.3）。虽然电流参考方向和电压参考方向可以随便选取，但为了运用欧姆定律或运用功率公式时表达式简单一点，最好将电流参考方向和电压参考方向标成关联的。

同理可得，电阻R₁和R₅上电压和电流的关系为

将式（1.15）和式（1.16）代入式（1.12）可得

这样，就用电流表达了回路电压方程。我们知道，对电路中的节点，节点电流方程是用电流来表达的。联合回路电压方程和节点电流方程，就可知道电路中各支路电流该满足的所有约束关系。求解这些方程，就可以计算出各支路的电流。这就是将回路电压方程也用电流来表达的原因。

在电路中，既标电流参考方向，又标电压参考方向，会使得电路中的符号特别拥挤，电路图看起来不够简洁。如果默认电压参考方向与电流参考方向关联，则可以只标电流参考方向，而不标电压参考方向，对电阻直接运用欧姆定律U＝IR，用电流来表达电压，从而一步到位，写出回路电压方程。此时，尤其要注意沿回路一圈时，电压的升降与取正负的关系是由电压参考方向和沿回路的绕行方向决定，而与元件上电压电流的参考方向是否关联无关。

在对基尔霍夫电压定律不太熟练时，电压和电流的参考方向都需要标出，先对电压列回路电压方程，然后根据欧姆定律把电压用电流表达出来，然后代入回路电压方程，得到用电流表达的回路电压方程。熟练掌握基尔霍夫电压定律后，可以只标电流参考方向，直接一步到位列出用电流表达的回路电压方程。

基尔霍夫电压定律描述的是一个回路上各电压之间的关系，既适用于直流电路，也适用于交流电路，既适用于线性电路，也适用于非线性电路，即在任一时刻，对一个回路，顺时针或者逆时针绕回路一圈，电压的代数和为零。如果要进一步用电流来表达电压，需要在电路元件上运用欧姆定律或者其他物理定律，建立电压和电流的关系。对于线性电路，电路元件上电压和电流之间呈线性关系，而对非线性电路，元件上电压和电流之间呈非线性关系。线性或者非线性只是影响电压和电流之间的关系，不影响回路中各电压之间的约束关系。

推广一下，对开口回路，或称开口电路，基尔霍夫电压定律也是成立的。所谓开口回路，是指某一部分电路，它没有构成闭合回路，有两个断开的端口，如果在这两个端口之间标上电压及其参考方向，从电压连续的角度，就可以构成一个虚拟回路。

对开口回路运用基尔霍夫电压定律，是求电路中任意两点之间电压的一种方法。

在图1.19所示电路中，点a和点b分别是导线的两个端口，也就是a、b之间是断开的。图中，用虚线椭圆表示不同的回路。其中，回路1是一个闭合回路；而回路2则是一个开口回路，实际上它并不闭合。

对闭合回路1，可以运用基尔霍夫电压定律列回路电压方程。由于电路只有一个闭合回路，所以I₁＝I₂。则回路电压方程为6－I₂R₁－I₂R₂＝0[1]，求得I₂＝1.2A。

对开口回路2，由于基尔霍夫电压定律也是成立的，也可以对其列回路电压方程。在断开的a、b两端标上电压及其参考方向，于是有

从而求得U_ab＝10.4V。

当然，在图1.19所示电路中，除了开口回路2，还有其他的开口回路，比如从b点出发，绕电路最外一圈到a，然后回到b。也可以选择这个大的回路来运用基尔霍夫电压定律，求开口电压U_ab。

采用开口回路，可以求电路中任意两点之间的电压。选择开口回路时，一般选择电路元件最少的回路，因为这样列方程和求解会简单些。

下面一个例题综合地表明了运用基尔霍夫电流定律和电压定律分析电路的基本思路，并用计算功率的方法判断电路元件是电源还是负载。

【例题1.3】已知直流电路中有5个元件：1、2、3、4和5，各电压和电流参考方向如图1.20所示。已知U₁＝12V，U₂＝－18V，U₄＝20V，I₁＝4A，I₂＝6A。求U₃和U₅，并判断这5个元件，谁是负载，谁是电源。

解答：在图1.20所示电路中，共有两个网孔。运用基尔霍夫电压定律，对这两个网孔列回路方程有

求得U₃＝30V，U₅＝－10V。

对节点a，运用基尔霍夫电流定律，列节点电流方程有

求得I₃＝－10A。

运用功率公式（1.4）可得，电路中5个元件的功率分别为

由于P₁＞0、P₂＞0和P₃＞0，所以元件1、元件2和元件3为负载；由于P₄＜0和P₅＜0，所以元件4和元件5为电源。而且还可发现，该电路所有功率之和为0，满足能量守恒原理。