第17章 “宇宙是不存在的！”

——悖论之二

这不是耸人听闻，也不是痴人说梦。它不出自虚无者之口，而是来自科学家的结论。但我们毕竟是唯物主义者，宇宙确确实实是存在的，我们人类过去、现在、将来都在宇宙之中繁衍生息。究竟是怎么回事呢？

是悖论在作怪。什么是悖论？悖论是一种特殊的逻辑矛盾，由它是真的，会推出它是假的；由它是假的，又会推出它是真的。在悖论中，推理的前提是明显合理的，而推理的过程又是合乎逻辑的，其结果却是自相矛盾的。形式逻辑的排中律遇上了悖论也一筹莫展，其威力顿时丧失殆尽。

古希腊克里特岛人的“说谎者”悖论是一种不完全的悖论。由“克里特岛上的人是说谎者”真，可以推出“克里特岛上的人是说谎者”假；而由“克里特岛上的人是说谎者”假，推不出“克里特岛上的人是说谎者”真，只能推出“有的克里特岛人不是说谎者”。可见它不完全。

中古时候流传下来的“理发师悖论”是一个完全的悖论。据说中古时代某村只有一个理发匠，他自己约定：只替不给自己理发的人理发。对别人来说，这位理发师很容易执行自己的规定。问题出在他本人身上。他到底替不替自己理发？如果他替自己理发，则依上述约定，他不该替这种人（他自己）理发；如果他不替自己理发，按照上述约定，他必须替这种人理发（即替自己理）。左也不是，右也不是，都有矛盾出现。

古代流传下来的这类悖论为数不少，但都未危及逻辑、数学的基础。

当罗素从现代数学的基础理论——集合论中发现了悖论时，犹如石破天惊，整个数学界为之震动。

罗素提出的著名悖论就是本文标题所示：“宇宙是不存在的！”

我们用大写的X来代表宇宙，设X（宇宙）是由一切事物组成的集合。用符号表示为：

X={一切事物}

由于这个X本身也是一个事物，因此x∈X，读作X属于X。根据集合的理论，一个集合与组成这个集合的元素有本质区别，所以说X属于X，宇宙属于宇宙，是无法理解的事。换句话说，这个所谓包罗一切的宇宙X是不可能存在的，如果存在这个X就会出现矛盾。现在我们可以来揭示本文标题的谜底了。罗素并不是否认现实世界的存在，而是说，假定宇宙是囊括一切事物的一个集合，那势必会导致矛盾，因而这样的一种集合是不能存在的。

在罗素悖论“宇宙是不存在的”之中，我们又看见与“理发师悖论”相同的情形：

设X={A｜A∉A}

∉表示不属于，整个式子表示X是由所有不属于自己的那些集合所组成的集合。由规定公理可知，X是存在的。我们问：集合X是否属于它自己呢？

如果X属于X（X∈X），那么由于X的任何一个元素A都有A不属于A（A∉A）的性质，所以，会有X不属于X（X∉X）。即由X属于X会导致X不属于X，矛盾，如果X不属于X，那么由于X满足集合X所规定的条件，所以又会有X属于X，也导致矛盾。

这个悖论清楚明白，没有任何辩驳的余地。了解现代数学的读者知道，集合论的兼容性是整个数学兼容性的支柱。在1900年，在巴黎召开的数学大会上，大数学家彭加勒宣布：“现在我们可以说，完全的严格性已经达到了。”可是他这句话说过才两年，罗素就提出了上述集合论悖论。消息传开，许多数学家大惊失色，惊愕得说不出话。被人称为数理逻辑的第三个创始者数学家弗雷格在《论数学基础》中说：“对一个科学家来说，没有一件事是比下列事实更为扫兴的了，即当他的工作刚刚完成的时候，突然它的一块奠基石崩塌下来了。当本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信也使我陷于同样的境地。”

为什么两千年来悖论对逻辑、对数学没有发生根本性的威胁，而现在却像爆发了一场大地震呢？

这是因为，过去的悖论都依赖于某些具体事实，例如，说话的人为克里特岛人，理发匠有一个约定等等，悖论的出现只表明所假定的事实不能出现，是幻想等，与逻辑、数学都无关。

对克里特说谎者悖论，亚里士多德是这样解释的。每一个人都可能本身是撒谎者，但在某些方面或个别场合，却可能讲真话。因此，这一悖论是由“撒谎”一词的双关意义产生的，因而是一种诡辩：说自己撒谎的人是指自己是一个撒谎者，而不是指他所表述的一切判断都是虚假的；所以，他关于自己撒谎的个别判断并不因为讲话的人承认自己是一个撒谎者而成为虚假的。这是一种较为缓和的解释。

后人通常认为该克里特岛人的这句话本身无意义，等于说了一句文法不通的胡言，或发了一系列无意义的声音。

对理发师悖论，通常认为该理发匠作了一个无法执行的约定，等于某人要求自己同时面向东又面向西一样，是无法执行的。

而集合论悖论则不然，它只涉及集合论里的基本概念——集合。这就排除了“诿过于人”，即归咎于引入新概念，或归咎于推理的中间步骤等可能性。按照规定公理，“任何确定的条件都可决定一个集合”。所谓集合，是指把我们感兴趣的、想加以研究的对象集中在一起组成的一个整体。感兴趣的对象，可以是任意的东西，人、房子、数字，甚至可以是阿狗阿猫。承认集合论的规定公理，罗素悖论就会产生；如果不承认这条原则，数学中经常使用的这类方法便得改变。这就势必对集合论以至对整个数学产生极大影响。

有的逻辑学家认为，悖论产生的原因至少与三个因素有关。一是包含自我指称，这是指一个总体的元素、分子或部分直接或间接地又指称这个总体本身（语句、集合或者类）。二是涉及否定性概念，例如，说自身为假的语句是真的还是假的？三是涉及总体、无限这类概念。这导致恶性循环。

数学家为了清除悖论这个怪物，提出了各种各样的方案，前后有80多年，至今还是一个没有攻克的山头。

罗素曾经提出过把数学还原为逻辑的方案，经过艰苦的努力，发现有的公理无法还原为逻辑，只好承认此路不通。有的数学家提出将形式逻辑排中律限制在一定范围，但遭到一个大数理逻辑学家希尔伯特的反对，他说：“禁止数学家使用排中律，等于不许天文学家使用望远镜，不许拳击家使用拳头。”

悖论能不能避免？应不应该避免？能不能找到一个最终的解决方案？这都有待时间老人来作答。