1.4　业余数学家之王

1601年8月17日,皮埃尔·德·费马出生于法国西南部城市图卢兹附近的小镇博蒙·德洛马涅。作为富有的皮革商的儿子,费马从小衣食无忧,生活在富裕舒适的环境中,但父母并不宠溺他,父亲还专门给他请了两个家庭教师。因此,他不用去学校,在家里就可以接受良好的系统教育,并培养了广泛的兴趣和爱好。年少时的费马虽称不上神童,但也聪明勤奋,门门功课都不差。不过,他最喜爱的是数学。

费　马

费马在14岁时才正式进入中学读书。1617年毕业后,他遵照父亲的愿望选择读法律专业,并且自己也喜欢。这真是两全其美的事情。在当时的法国,律师是令人艳羡的“高大上”职业,费马先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。

17世纪的法国有着卖官鬻爵的风气,这既迎合了富有者获得官位而提高社会地位的愿望,又增加了政府的财政收入。费马作为典型的中产阶级家庭的孩子,也未能免俗。他尚未大学毕业,便在家乡买好了律师和参议员的职位。1631年费马毕业返乡后,很容易就有了一份律师工作,还成了图卢兹议会的参议员。费马从步入社会直至去世,虽无突出政绩值得称道,但他在仕途上不断升迁,可谓一帆风顺。

尽管费马花钱买职位这件事不太光彩,但大环境如此,好在费马一生从不滥用职权,他的公正廉明赢得了人们的信任和称赞。在这一点上,除了家教,数学研究对他的影响也许不容忽视,因为数学具有一种文化品格,那就是数学训练对人的一生潜在地起着根本性的影响,其中包括规则意识、严谨的思维和认真的态度。

费马很有语言天赋,除母语外,还精通拉丁语等5门语言。他用多种语言写作的诗歌广受赞誉,同时他也热衷于希腊文本的校订。虽然白天的司法工作异常繁忙,但夜晚和假日几乎全被他用来学习语言和研究数学了,而对数学的酷爱和孜孜以求使得他在解析几何、微积分、概率论、数论、物理学等领域都做出了卓越的贡献。

费马是解析几何的发明人之一。在笛卡儿的几何学研究成果发表(1637年)之前,他就发现了解析几何的基本原理,建立了坐标法。他利用代数方法对古希腊阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》进行了整理和总结,对曲线做了一般研究。他于1630年用拉丁文撰写了仅有8页的论文《平面与立体轨迹引论》,指出由两个未知量决定的一个方程式对应着一条轨迹,可以描绘出一条直线或曲线。费马还对一般直线和圆的方程以及双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。笛卡儿是从一条轨迹来寻找它的方程的,而费马则是从方程出发来研究轨迹的,这正是解析几何的基本原则相对的两个方面。

17世纪,继解析几何之后,微积分成为变量数学最重要的里程碑。众所周知,牛顿和莱布尼茨是微积分的创立者,但在他们之前有许多先驱为微积分大厦的落成做了大量的探索工作,费马是其中有重大贡献的一位。曲线的切线问题和函数的极值问题均为微积分的起源。费马于1637年出版的著作《求最大值和最小值的方法》引入了无穷小量,给出了求函数极值和曲线切线的方法,这是微分学的内容。他还发现了一种求平面和固体重心的方法,这是积分学的内容。高等数学教科书会介绍这些知识,今天的理工科大学生们对此并不陌生。

我们知道,概率论起源于数学家对并不光彩的赌博问题的研究。中世纪的欧洲流行用骰子赌博,15世纪和16世纪的意大利数学家帕乔利、丰塔纳和卡尔达诺的著作曾探讨过许多概率问题,著名的“分赌金问题”曾引起热烈讨论。1654年左右,费马与帕斯卡在一系列通信中讨论类似的合理分配赌金的问题,并用组合的方法进行解答。他们的通信引起了荷兰数学家惠更斯的兴趣。惠更斯于1657年出版了概率论的奠基之作《论赌博中的计算》,该书在欧洲曾长期作为教科书。这些数学家的著述中出现了一批概率论概念(如事件、概率、数学期望等)与定理(如概率加法、乘法定理),标志着概率论的诞生。

在光学方面,费马突出的贡献是提出了最小作用原理。该原理也称为费马最短时间原理,它指出光沿所需时间最短的路径行进。早在古希腊时期,欧几里得就提出了光的直线传播定律和反射定律,后来海伦揭示了这两条定律的实质——光沿最短路径传播。随着时间推移,这条定律逐渐被扩展成自然法则,进而成为一种哲学观念。费马将这一哲学观念转化为科学理论。他还讨论了光在逐点变化的介质中行进时,其路径取极小的曲线的情形,并用最小作用原理解释了一些现象。这给数学家很大的启发,特别是欧拉通过变分法用这条原理求泛函(函数的函数)的极值,为拉格朗日的力学研究提供了合适的数学工具,给出了最小作用原理的具体形式。

在数学的诸多分支中,最令费马倾心的当数数论,他如某些孩童对待游戏般痴迷于数论研究。他研究过完美数、亲和数、佩尔方程,以及后来以他的名字命名的费马数和费马素数。在研究完美数时,他发现了费马小定理(1640年),即ap-a≡0(modp),其中p是一个素数,a是正整数。

费马在数论领域中取得的成果巨大,他超人的直觉对17世纪数论的发展影响深远,可以说他以一己之力撑起了17世纪的数论天地。他提出了数论中的许多猜想,因此也被称为“猜想数学家”。这些猜想,包括著名的费马大定理,经诸多数学大师的苦思冥想,最终均获证明。费马大定理使得费马名扬天下,并促进了代数数论这一学科的诞生。

费马的工作标志着近代意义上数论研究的开始,但是与现实没有任何关系的数学缺乏发展的外部推力。高斯这样评论道:“我承认我对费马的定理没什么兴趣,这是个孤立的命题。像这样既没人能证明也不能证伪的命题,我随手就能写一大串。”高斯是站在数学山巅的巨人,一览众山小。好在二者相差近200岁,这样有点轻慢的语言也无所谓,造不成什么伤害。的确,费马大定理以及别的丢番图方程可解或者不可解问题,就那个时代而言,对其他数学分支貌似也产生不了太大的影响。

宇宙大爆炸理论的提出者乔治·伽莫夫在1961年出版的科普名著《从一到无穷大》的第二章“自然数和人工数”里有一段这样的叙述:“迄今为止,数学还有一个大分支没找到什么用途(除了起智力体操的作用以外),它真可以戴上‘纯粹之王冠’。这就是所谓的‘数论’(这里的数指整数),它是最古老的一个数学分支,也是纯粹数学思维最错综复杂的产物。”

殊不知,20世纪60年代以来,随着数字通信技术的迅猛发展,信息安全问题受到了极大的重视。70年代出现的RSA公匙方案是迄今为止应用最广、保密性最强的加密解密方法,其数学原理就依赖数论,其中最主要的是费马小定理。时至今日,人们对数论的认识已然发生了天翻地覆的变化,数论的影响超越“算术游戏”“智力体操”,成为现代数学赖以存在的基础。这需要感谢费马几百年前的兴趣使然。

1665年1月12日,费马病逝。他一生谦和内向,好静成癖,无意构制鸿篇巨制,更无意付梓刊印。他的研究成果是其长子兼科研助手萨摩尔从他写在一些书上的批注、与朋友往来的书信以及残留的旧纸堆中整理、汇集而出版的,因此写作年月大多不详。费马在生前没有完整的著作出版,因而当时除少数几位密友外,他的名字鲜为人知。19世纪中叶,随着数论的发展,费马的著作才引起数学家和数学史学家的研究兴趣。随后,他的名字在欧洲不胫而走。值得一提的是,人们早就认识到时效性对于科学的重要意义,而费马的数学研究成果未能及时发表、传播和发展,这既是他个人的名誉损失,也影响了那个时代数学发展的步伐。

费马从未受过专门的数学教育,数学研究只是他的业余爱好。然而,在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌。这位业余数学家的能力和成果比大多数专业数学家还要显著,“业余数学家之王”的桂冠对他来说实至名归。

万世师表的孔老夫子早就说过“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”。费马对数论的痴迷、对数学研究的热爱没有任何功利之心,他乐在其中,陶醉在其中。这多少让今天生活在冗杂浮躁时代的我们从心底羡慕那种难能可贵的纯粹。