1.5　数学王子

1777年4月30日,约翰·卡尔·弗里德里希·高斯出生于德国北部城市不伦瑞克的一个贫穷的工匠家庭,他自小就表现出非凡的才能。他家上溯几代都是农工阶层,没有良好的教育背景,子孙后代中出了这样一位天赋异禀的神童,算得上是个异数。

高　斯

据说歌德在6岁时编写了木偶戏的剧本,莫扎特在5岁时创作了第一首钢琴曲,那么高斯呢?在他3岁时,父亲在一家砖瓦厂任督工,有一次给工人发薪。小高斯站起来说:“爸爸,你算错了。”众人目瞪口呆,重算的结果证实他是对的。高斯晚年曾打趣说自己在说话以前已经会算术。

大家耳熟能详的故事是9岁的小学生高斯计算从1加到100的和。虽然这个故事有大同小异的各种版本,但大意是说在其他小朋友汗流浃背地忙着运算时,高斯早就得到了5050 这个答案。他给老师的解释是:1+100=101,2+99=101,…,50+51=101,所以从1加到100 等于50个101相加,答案便是5050。多么清晰简洁的算法!

在对天才儿童的教育上,高斯的父亲既无钱也无意培养他。然而高斯在11岁时便能导出二项式定理的一般展开式,并且对无穷级数的展开很熟稔,于是神童的名号传遍不伦瑞克。幸运的是当地的一位公爵欣赏他并愿意出资供他读书,负责他以后的教育。

1792—1795年,高斯被送到德国当时的最佳学府之一——卡罗林学院学习。在卡罗林学院学习期间,高斯读了许多古典文学名著,培养了良好的文学素养。他也研读了牛顿、欧拉和拉格朗日等人的数学著作。作为一个骨子里酷爱数字游戏的少年,高斯在1792—1793年研究了素数分布,他对整数以千为等级进行划分,找出其间所含的素数个数。古希腊的埃拉托色尼得到的结论是整数p所含的素数不大于,由筛选法可求得素数个数。而高斯则由观察得出素数个数的增加率D(n)=π(n)-π(n-1000)[这里的π(n)表示2和n之间的素数的个数,n≥1000)与成正比。高斯也想过的情形(这里的lnn是n的自然对数,~表示当n趋近无穷大时,π(n)与的比趋近1),即素数定理,但并未发表。该定理经过许多数学家的努力在100多年后才得以证明。除此之外,他发现了算术几何平均与幂级数的联系,还发现了使观测数据的固有误差为极小值的最小二乘法,并提出了概率论中的正态分布律。

1795年,高斯入读学术自由、馆藏丰富的哥廷根大学,学习数学。和现在的很多大学生一样,他一度对前途感到迷惘。为了将来容易找工作,高斯曾想改读语言专业。然而,他在19岁时发现用尺规可以作出正十七边形,这一惊奇的几何发现使他决心终生从事数学研究并以此为乐趣。

尺规作图是古希腊人推崇的训练理性思维的方法,我们在第3章的3.4节中还要进行详细的阐述。古希腊人已经知道可以用尺规作出等边三角形、正四边形、正五边形和正十五边形,以及通过平分角的方法再由这些正多边形作出其他的正多边形,但只能作这些。还有哪些正多边形可以用尺规作出,哪些作不出呢?不得而知。沉寂了2000多年后,高斯解决了这个问题。1801年,他证明了对于奇数n,当且仅当n为费马素数(P_k=22k+1)或若干个不等的费马素数的乘积时,可用尺规作出正n边形。当k=0,1,2,3时,P_k=3,5,17,257,是素数,所以这些边数的正多边形是可以用尺规作出的。

对于用尺规作出正十七边形这一结果,高斯很得意。高斯想模仿阿基米德将自己中意的“圆柱容球”刻在墓碑上,他对鲍耶说以后自己的墓碑上就刻上正十七边形。鲍耶是匈牙利人,在哥廷根大学主修哲学,对基础数学感兴趣,是高斯在大学时代欢乐与共、坦诚相见的挚友。后面,我们还要介绍鲍耶的儿子小鲍耶与高斯之间的故事。

在哥廷根大学读书的青葱岁月里,高斯才思泉涌,数学成果不断涌现。1795年,他发现了经典数论中最重要的定理之一——二次互反律。很有意思的是,当时高斯还不知道欧拉未加证明地提出了这条定理的并不完善的叙述,勒让德提出了正确的叙述和不正确的证明。二次互反律是高斯的经典名著《算术研究》的核心和基石,高斯私下里将之视为算术理论中的黄金定律。这部巨著在1798年完稿,但直到1801年才出版。除了提及一点早期数学家的零散成果外,这部著作的内容完全是创新性的。这部著作被认为是近世代数的真正开端,开启了数论研究的全新时代,正如牛顿的《自然哲学的数学原理》对物理学和天文学所起到的作用一样。在该书的开始,为了研究可除性问题,高斯提出了同余的方法,并对算术基本定理给出了第一个证明。这条定理亦称唯一因子分解定理,其内容是:每个整数n(n>1)可以唯一地表示为素数因子的乘积。这本书的核心内容是同余理论、二次型理论和分圆理论。

《算术研究》这部数学史上为数不多的经典著作之一是纯粹数学的一场盛宴。特别地,高斯在这部著作里还展示了现代学者研究数学的严格方法和严谨态度。高斯希望用尽量少的文字表达尽量多的思想,因此他的著作中隐藏的内容几乎同他发表的一样多。那种简明扼要、严密而又不讲来龙去脉的文风完全符合他一贯奉行的“少些,但要成熟”的信条,这就使得人们想读懂他取得那些伟大成果的思路几乎不可能。难以阅读自然也使他的思想难以传播。19世纪的挪威数学家阿贝尔曾批评说“他像一只狐狸,走过沙滩,用大尾巴抹平了自己在沙地上留下的脚印”,高斯则反驳说但凡有自尊心的建筑师在楼房完工后都不会把脚手架留在那儿。

1798年,高斯转入黑尔姆施泰特大学,翌年因证明代数学基本定理获得博士学位,他的博士论文是数学史上的又一座里程碑。在达朗贝尔、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯等数学家毫无进展的尝试后,高斯终于第一次给出了代数学基本定理的令人满意的证明。该定理指出:任何实系数或复系数的多项式方程存在实根或复根。高斯成功地开创了进行存在性证明的新时代。此后,这种证明方法在纯粹数学中发挥了重要的作用。

除了纯粹数学,高斯在应用数学领域也一样成就斐然。1801年,天文学家在火星轨道和木星轨道之间发现了一颗微渺的矮行星,但不久它就消失在太阳附近的光亮中,人们将它命名为谷神星。当时需要根据少量的观测数据来计算出足够精确的轨道,以便重新确定谷神星远离太阳时的位置。欧洲的天文学家花费了好几个月的时间,但毫无进展。高斯被这个问题吸引了,他以自己发明的最小二乘法和他那无与伦比的计算能力锁定了谷神星的运行轨道,并且预测了它再次出现的时间。天文学家按照高斯的指引,果真用望远镜找到了这颗神秘莫测的矮行星!这一成就再一次给高斯带来巨大的声誉,他被众多科学院和学术团体选为成员。1807年,他被任命为天文学教授和哥廷根新天文台的首任台长。

谷神星

在19世纪的头20年里,高斯撰写了一些天文学著作,其中《天体运动理论》是最重要的一部。在此后的100多年里,此书成为行星天文学上的一本“圣经”,书中处理摄动的方法是发现海王星的法宝,海王星也被现代人称为“笔尖上的发现”。

1820年左右,高斯应汉诺威政府的邀请主持大地测量工作。这是一项十分繁杂的事务,包括风餐露宿的野外工作和单调乏味的三角测量工作。这些艰辛枯燥的工作占用了他好多年的时间,而也正是这些艰辛枯燥的工作使得高斯在纯粹数学领域做出了最深刻且最有影响的贡献之一。

大地测量工作的目的是要准确测量地球表面的大三角形,高斯于1827年出版的著作《曲面的一般理论研究》就源于此。在该书中,为了解决大地测量问题,高斯利用微分和积分作为工具来分析曲面,开辟了数学的一个新领域——微分几何学,在数学史上第一个建立了某一点的曲率(表示弯曲程度)以及曲面上的坐标系等概念,使测地线(曲面上从一点到另一点的最短路线)的确定成为可能。该书中介绍的主要成果是著名的高斯绝妙定理和高斯-博内定理。前一定理指出高斯曲率是曲面的内蕴不变量,即曲面无挤压变形后,每一点的高斯曲率不变。后一定理建立了曲面的图形和拓扑之间的联系,其一般形式是现代大范围微分几何学里的核心事实。陈省身先生在该领域的贡献之一就是发展了高斯-博内公式,给出了著名的高斯-博内-陈公式。高斯见解的突出之处在于“内蕴”二字,因为他指出如何只凭曲面本身进行运算,而不必关心其周围的空间就可以研究曲面。通俗地讲,设想有一个二维空间里的生灵,它居住在一个曲面上,不知道还有第三维以及曲面之外的任何事物。如果这个生灵能在曲面上走动,沿曲面测量距离,确定测地线,那么它也能测算任一点的高斯曲率,创造出关于曲面的内容丰富的几何学。当且仅当曲面的高斯曲率处处为零时,这种几何学才是我们熟悉的欧氏几何。高斯的上述理论由黎曼等人发扬光大,引出了黎曼几何和张量分析,并为爱因斯坦的广义相对论的出现铺平了道路。

19世纪30年代,高斯把复数定义为有序实数对,并且对复数的代数运算给出了合适的定义,将围绕复数的争论平息下来,为n维空间的代数学的发展与几何学的发展铺平了道路。他把数论中的思想推广到复数领域,开创了代数数论。他还从事了大量的物理学研究。在所接触的分支中,他都有很多开创性的贡献,例如表面张力理论、势论等。

1855年2月23日,高斯在工作后一直居住的哥廷根去世。此后不久,哥廷根的领主、汉诺威君主乔治五世敕令铸造一个直径为7厘米的纪念章赠予高斯家族,以表彰他取得的巨大成就。纪念章的边缘用拉丁文镌刻着“汉诺威君主乔治五世向数学家之王致敬”。

虽然成就遍及数学的各个领域,但高斯对待学问极度严谨,一生公开发表的论文只有155篇,未发表的成果同样可观。他去世后,人们仔细研究他的笔记和通信中的大量材料,并将其收录在他的全集中,其中包括复变函数、非欧几何、椭圆函数论等诸多重要成果。

“数学王子”高斯在数学界达到的高度是普通人无可企及的,但他对待工作的态度可以借鉴。他任大学教授和天文台台长时,对行政琐事、官僚主义的繁文缛节深恶痛绝,对教书也无甚兴趣,但当他不得不做这些事情时,表现十分出色。杰出的代数学家戴德金在听过高斯讲课50年后还评价说这是自己“一生中所听过的最好、最难忘的课”。在其位谋其政,尽其责成其事。我们必须承认,态度成就了高度!