2.1.1 周期结构的模式展开分析法

考虑如图2.1所示由两种材料a和b构成的一维周期性光栅结构，两种材料的相对介电常数分别为ε_a和ε_b，宽度分别为a和b（Λ-a）。光栅沿x方向的周期为Λ，沿y、z方向均匀延伸。简单起见，仅考虑角频率为ω的电磁波沿z方向垂直入射该结构，且电场分量沿y方向偏振（TE模式），电场可表示为

式中，β为模式沿z方向的传播波矢，在两种媒质中相同；k_a和k_b为两种媒质中的横向波矢，与β的关系满足

根据麦克斯韦方程，可进一步推导出

根据边界连续性条件，电场切向分量和磁场切向分量应在x=a处连续，即

且布洛赫连续性条件要求x=0处的电磁场与x=Λ处的电磁场相等，因此有

将式（2.4）～式（2.7）写成矩阵形式为

由行列式可得到TE模式的色散方程为

类似地，TM模式的色散方程为

根据色散方程式（2.9）或式（2.10）求解β，即可进一步得到该偏振态下准确的等效折射率：n_eff=β/k₀。