2.1.2 零阶和高阶等效媒质理论

上述色散方程为超越方程，从中直接获得β的解析解较为困难，Rytov等在Λ/λ→0的条件下，忽略电磁场在同一材料内的分布变化，分别得到了TE模式和TM模式下的零阶等效介电常数[1]，即

式中，η=a/Λ为光栅的占空比。随着光栅周期的增大，将色散方程进行泰勒展开，并保留至Λ/λ的二阶项，可以得到二阶EMT。此时等效介电常数表示为[2]

上述零阶和二阶EMT是针对正入射的波束推导出来的。当光波以任意角度斜入射时，可修正式（2.1）与式（2.3）中电场和磁场分量的表达式，从而得到与入射角度相关的等效介电常数[3]。上述EMT的适用范围无法一概而论，根据构成结构的材料、占空比的不同，Λ/λ的有效范围也不同。一般而言，直接求解式（2.9）与式（2.10）的超越方程得出的模式折射率是最准确的等效折射率，且该等效折射率的适用范围取决于更高阶模式的截止频率。当仅存在单一模式而没有激发更高阶模式时，理论上可以将周期性结构等效为均匀媒质，且等效折射率由该模式的纵向波矢决定，或者由零阶或二阶EMT计算得出。

此外，EMT的研究对象可从一维周期性结构扩展至二维周期性结构，从而更符合多数超表面的结构特征。通过将二维周期性结构分别等效成两个相互垂直的一维结构，依次使用TE和TM偏振态下的一维EMT，即可近似得到二维周期性结构的等效折射率[4]。更精确的二维EMT可以根据模式展开理论或严格耦合波分析方法进行推导[5]，此处省略。