2.9.2　环

环是一种代数结构，2.9.1节讨论的群只定义了一种运算方法，要么是加法，要么是乘法，或者其他规定的运算法则。而在环中定义了两种运算，即加法和乘法都会在环中出现。

定义2.9.4　环(Ring)

令为一个非空集合，集合里含有两种二元运算：+(加法)和×(乘法)。

1)是一个交换群。

● 结合律。对所有的有。

● 同一律。如果有，对于所有的都有。

● 反转律。对于所有的，存在，使得。

● 交换律。对所有的有。

2)运算满足以下属性。

● 结合律。对所有的有。

● 同一律。如果有，对于所有的都有。

● 交换律。对所有的有。

3)运算满足分配律：对所有的有，。

若满足以上构成条件，则称为一个环。

当时，该环就是一个交换环。

例2.9.3　下面是两个环的例子。

●是整数，也是一个交换环。但只有1和-1是的单位元。

● 也是一个环。