2.9.3　域

定义2.9.5　域(Field)

令为一个非空集合，集合里含有两种二元运算：+(加法)和×(乘法)。

1）关于“ + ”构成阿贝尔群，“ + ”的单位元为0 。

2）中所有非零元素对“”构成阿贝尔群，“”的单位元为1 。

3）“+”和“”之间满足分配律，即对于任意的，满足：

若满足以上条件，则称为一个域。

简单来说，对于一个环，如果每个非零元素都有一个乘法逆元（Multiplicative Inverse），则这个环被称为域。域是一个交换除环（Commutative Division Ring）。域就是一个集合，在其上进行加、减、乘、除运算，其结果不会在该集合之外。

例2.9.4　域的例子。

●是一个域。比如有理数8 ，可以在有理数集合中找到，使得。

● 整数集合不是一个域，因为只有1和-1 有乘法逆元。

● 实数集合是一个域。

群、环和域之间的关系如图2-2所示。

图2-2　群、环和域的关系