1.1.4　函数的运算

两个或多个函数可以通过四则运算与复合运算构成新的函数。

1．四则运算

定义1-2　已知两个函数y=f(x)(x∈D₁)与y=g(x)(x∈D₂)，设D=D₁∩D₂且D≠Ø。则分别称f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)·g(x)与f(x)/g(x)为f(x)和g(x)的和、差、积、商函数。

但是要注意其中D₁∩D₂≠Ø，否则运算无意义。

2．复合运算

定义1-3　假设y是u的函数即y=f(u)，而u又是x的函数即u=φ(x)，且y=f(u)的定义域与u=φ(x)的值域的交集非空。那么，y通过中间变量u又成为x的函数，称为由函数y=f(u)与u=φ(x)复合而成的复合函数，记作

y=f[φ(x)]。

复合的过程就是依次代入消掉中间变量的过程。

【例1-6】　求下列函数构成的复合函数。

（1）y=lnu，u=1+sin x；

（2）y=eu，u=cosv，v=2x+1。

解：

（1）u是中间变量，将u=1+sin x代入y=lnu，得到复合函数为y=lnu=ln(1+sin x)。

（2）中间变量为u和v，将中间变量依次代入得到y=eu=ecos v=ecos( 2x+1)。

【例1-7】　指出下列函数是由哪些简单函数复合而成的。

（1）y=(5x-1)4；（2）。

解：

（1）y=(5x-1)4是由y=u4和u=5x-1复合而成。

（2）是由y=cosu，和v=1+3x2复合而成。

3．反函数

摄氏温度C和华氏温度F是两大国际主流的计量温度的标准，两者之间的换算关系为F=32+1.8C。这里C是自变量，F是因变量。将摄氏温度C=20℃代入得到对应的华氏温度F=68 ℉。如果要将华氏温度F=86℉转换成摄氏温度呢？只需将式子改写为，此时自变量为F，因变量为C，将F=86℉代入得到对应的摄氏温度C=30℃。

上面的例子中，两个式子是相反的，F=32+1.8C是以C为自变量表达F，而是以F为自变量表达C。我们称是F=32+1.8C的反函数，反之亦然。

定义1-4　设y=f(x)是定义在D上的函数，值域为Z。如果对于数集Z上的每个数，数集D上都有唯一确定的一个数x与之对应，那么确定了以y为自变量的一个函数称为函数y=f(x)的反函数，记为

x=f-1(y)。

它的定义域为Z，值域为D。而y=f(x)称为x=f-1(y)的原函数。

为了与传统习惯相适应，以为自变量，y为因变量，将y=f(x)的反函数记为

y=f-1(x)。

【例1-8】　求函数的反函数。

解：由得到。互换x，y得到，即的反函数为。根据原函数与反函数的关系，原函数的定义域为，值域为[0,+∞)，而反函数的定义域为[0,+∞)，值域为。