1.2.1　数列的极限

1．数列

定义1-7　按照一定次序排成一列的数a₁, a₂,…,a_n,…称为数列，记为{a_n}。其中，a₁叫作数列的首项，a_n叫作数列的第n项，也称为数列的通项。

无限数列可以看成是定义域为正整数集的函数。以下是常见的几种数列：

（1）；

（2）；

（3）1,3,5,7,…,(2n-1),…；

（4）1,-1,1,-1,…,(-1)n-1,…。

2．数列极限的概念

观察上面的四个数列，容易发现以下规律。

数列（1）当n增大时，数列通项逐渐减小。当n→∞时，。数列（2）当n增大时，数列通项的值在原点两侧交替出现，且逐渐减小趋近于0。所以当n→∞时，。数列（3）当n增大时，数列通项a_n=2n-1的值逐渐增大，且无上界。所以当n→∞时，a_n=2n-1的值无限增大，没有固定变化趋势。数列（4）当n增大时，数列通项a_n=(-1)n-1的值在1与-1之间来回振荡，不能趋近于一个确定的数。所以当n→∞时，a=(-1)n也没有固定的变化趋势。

当n→∞时，数列（1）和（2）都有固定的变化趋势，趋近于一个确定的常数；而数列（3）无限增大，数列（4）振荡，都没有固定的变化趋势，不能趋近于一个确定的常数。我们定义“极限”区分这两种情况。

定义1-8　已知数列a₁, a₂,…,a_n,…，如果当n→∞时，通项a_n无限接近于一个确定的常数A，则称当n→∞时数列{a_n}的极限为A，记作

或

此时也称数列{a_n}收敛于A。如果数列{a_n}没有极限，则称数列{a_n}发散。

根据数列的定义有，。或者说数列和收敛于0。而数列{2n-1}和{(-1)n-1}发散。

3．数列极限的性质

性质1-1　如果数列存在极限，则极限唯一。

性质1-2　如果极限存在，则数列{a_n}是一个有界数列。

4．常见的数列极限

【例1-11】　讨论下列数列的极限。

（1）；（2）；（3）。

解：求解数列极限时，可以列出数列的前几项，结合数轴上描点找出数值变化的趋势确定极限。

（1）数列为…。当n→∞时，无限减小趋近于0，所以。

（2）数列为。当n→∞时，逐渐增大趋近于1，所以。

（3）数列为。当n→∞时，数轴上在x轴上下两侧交替出现，且逐渐减小趋近于0，所以。