1.3　无穷小量和无穷大量

1.3.1　无穷小量的定义

定义1-12　若函数f(x)当x→x₀(或x→∞)时的极限为0，则称函数f(x)为当x→x₀(或x→∞)时的无穷小，常用α，β，γ等表示。

例如，当x→0时，x2,sin x,1-cosx等都是无穷小量。当时，cos x也是无穷小量。

通俗的讲，无穷小量是一个以0为极限的变量。但是要注意以下几点。

（1）无穷小量不是一个数。

（2）0是唯一可以作为无穷小量的常数。

（3）无穷小量是相对于自变量的某一变化过程而言的，必须注明自变量的变化趋势。不能笼统地说某个函数是无穷小量。如直接说sin x是无穷小量就是错误的，因为sin x在x→0时是无穷小，而在时就不再是无穷小。

（4）无穷小量的定义对数列也适用。例如，数列当n→∞时就是无穷小量。

定理1-2（极限与无穷小量之间的关系）　函数f(x)以A为极限的充分必要条件：f(x)可以表示为A与一个无穷小α之和。即

其中

【例1-17】　当x→∞时，将函数写成其极限值与一个无穷小量之和的形式。

解：因为，而f(x)可写成的形式。其中就是当x→∞时的无穷小量，所以为所求极限值与一个无穷小量之和的形式。