1.1　函数

1.1.1　函数的定义

在分析事物发展变化的规律之前，首先要建立事物的数学模型—函数，确定两个变量之间的对应关系，或者系统输入与输出之间的对应关系等。

定义1-1　设D，B是两个非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合D中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的一个数y与之对应，则称f是从集合D到集合B的一个函数，记为

其中，x称为自变量，y称为因变量，数集D称为函数的定义域。

有些函数直接给出了定义域，如函数y=sin x，的定义域为。如果没有明确限定自变量x的范围，那么函数的定义域为使得函数有意义的全体x构成的集合。如函数当x∈[0，+∞)时有意义，所以函数的定义域为[0，+∞)。

【例1-1】　求函数的定义域。

解：要使函数有意义，必须同时满足

所以，函数的定义域为[0, 1]。

当x取集合D中的一个数值x₀时，与x₀对应的y的值叫作函数y=f(x)在点x₀处的函数值，记作f(x₀)或。当x取遍定义域D内的所有值时，对应的函数值的集合称为函数y=f(x)的值域。

函数y=f(x)中，符号“f”表示从集合D到集合B的对应法则，不同的对应关系用不同的符号表示。例如，用f表示平方对应关系，用g表示立方对应关系。

定义域与对应法则是构成函数的两个要素，如果两个函数的定义域与对应法则都相同，那么这两个函数是完全相同的。而x和y只是表示自变量和因变量的两个符号，也可以用其他符号表示。

【例1-2】　判断下列各组函数是否同一个函数。

（1）y=lnx2与y=2lnx；

（2）与。

解：（1）因为2lnx=lnx2，所以这两个函数的对应法则相同。

但是，对于函数y=lnx2，要求x2>0，即定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)。而对于函数y=2ln x，要求x>0，即定义域为(0,+∞)。所以两个函数的定义域不同。

两个函数的对应法则相同，但是定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数。

（2）因为，所以这两个函数的对应法则相同。

函数和的定义域均为R。这两个函数的对应法则和定义域都相同，所以是同一个函数。