4.2.3 模糊理论基本概念

1.隶属函数

集合可以表现概念，把具体某种属性的元素的全体称为集合，把集合里的每个成员称为这个集合的元素。普通集合论中的元素对集合表现的是绝对隶属关系，例如，从一群人()中，挑选出所有的男人来，构成子集ωA，讨论ωA中的任意一个人X，X与ωA之间只有“属于”和“不属于”两种关系。

但是如果要把这群人中的中年人找出来，构成子集ωA，如图4-7a所示，就不能对中的任意一个人X用“是”“否”来做出肯定回答，在“是”“否”中间容许有中间状态。鉴于此，人们提出隶属程度的思想，用隶属函数来代替普通集合论中的特征函数，把这群中年人构成一个模糊子集，如图4-7b所示，用隶属函数μ来刻画每个人隶属于“中年人”的程度。

隶属函数是表示一个对象X隶属于集合ωA的程度的函数，通常记做μωA(X)，其自变量范围是所有可能属于集合ωA的对象（即集合ωA所在空间中的所有点），取值范围是[0,1]，即A 0≤μω(X)≤1。μωA(X)=1表示X完全属于ωA，相当于传统集合概念上的X∈ωA；而μωA(X)=0表示X完全不属于集合ωA，相当于传统集合概念上的X∉ωA。

由图4-7a可知，对每个元素指定一个隶属ωA的程度，45岁的a隶属中年人的程度为1，40岁的b隶属中年程度为0.9，35岁的c隶属中年人的程度为0.5，30岁的d隶属中年人的程度为0.3，25岁的e肯定不是中年人，隶属中年程度为0。

隶属度是模糊集合赖以建立的基石，要确定恰当的隶属函数并不容易，迄今仍无一个统一、标准的法则可以遵循。要确定隶属函数需要对被描述的概念有足够的了解，且要具有一定的数学技巧。在确定隶属函数过程中还会用到心理测试及其结果。正如某一事件的发生与否有一定的不确定性（随机性）一样，某一对象是否符合某一概念也有一定的不确定性（称为模糊性）。

随机性是因果律的一种必然，事件本身具体明确的含义，只是由于条件不完全，使得在条件与事件间不能出现决定性的因果关系。概率论的运用，得以从随机性中把握广义的因果律——隶属规律。

模糊性则是排中律的一种必然，由于概念本身没有明确的外延，故而某一对象是否符合这一概念的划分，就有不确定性，模糊数学正是从这一不确定性（模糊性）中确立的广义的排中律——隶属规律。

隶属度的具体确定，往往包含着人脑的加工，包含着某一种心理过程，但心理过程也是物质性的，心理物理学的大量实验已经表明：人由于各种感觉获得心理量与外界刺激的物理量间，保持着相当严格的关系，对心理测量结果的运用与修正，使得隶属度正确建立。

在某些场合，隶属度可以用模糊统计的方法来确定。模糊统计实验，有4个要素：

·论域，如手写数字集合。中的一个元素X0，如某一个手写的数字“2”。中的一个边界可变的普通集合ωA，如“写得像‘2’的手写数字”。ωA联系于一个模糊集及相应的模糊概念。

·条件s，它联系着按模糊概念所进行的划分过程的全部主客观因素，它制约着ωA边界的改变。例如，不同的实验者对“该手写数字像不像数字‘2’”的理解。

模糊性产生的根本原因是：s对按模糊概念所做的划分引起ωA的变异，它可能覆盖了X0，也可能不覆盖，这就导致X0对ωA的隶属关系不确定。例如，有的人认为该手写数字像“2”，有的人认为不像。

模糊统计实验的基本要求是，在每一次实验下，要对X0是否属于ωA做出一个确切的判断，做N次实验，就可以算出X0对ωA的隶属频率：

其他隶属度函数确定的方法还有：二元对比法、推理法、专家评分法等。

2.模糊子集的定义

设={X}是一个集合，μA(X)ω 定义在上，并且μA(X)ω ∈[0,1]，则给定论域上的一个模糊子集ωA，是指：对于任意X∈，都确定了一个数μA(X)ω，称μA(X)ω 为X对ωA的隶属度。的隶属函数。模糊子集完全由其隶属函数所刻画。当μωA(X)的值域为{0,1}时，μωA(X)蜕化为一个普通子集的特征函数，普通子集是模糊子集的特殊形态。如图4-7所示，在论域中确定一个模糊子集ωA，它表示“中年人”这一模糊概念。即={a，b，c，d，e}，对于每一个元素，制定一个对于ωA的隶属程度：μ→μωA(X)称为ωA

a→1，b→0.9，c→0.5，d→0.3，e→0 ω A = (1,0.9,0.5,0.3,0)ω A=1/a+0.9/b+0.5/c+0.3/d+0/e

这样便确定了一个模糊子集ωA，它是“中年人”这一模糊概念在论域上的表现。这里，由有限个元素组成，称为有限论域。有限论域上的模糊子集，可以用向量来表示，“中年人”在上的模糊子集ωA，可以写成

也可以采用Zadeh的记法：

或

ω A=1/a+0.9/b+0.5/c+0.3/d

在此不要误把上式右端当做分式求和。分母位置放置的是论域中的元素，分子位置放置的是相应元素的隶属度。当隶属度为0时，可以不放置此项。也可以采用另一种记法：

ω A ={(1，a)，(0.9，b)，(0.5，c)，(0.3，d)，(0，e)}

模糊子集是通过隶属函数来定义的。要确定ωA是由哪些元素组成的，必须对隶属度取一定的阈值a，当选取的a不同时，其模糊集的范围也不同。如上例中有ωA1={a}，ωA0.9={a，b}，ωA0.5={a，b，c}，ωA0.3={a，b，c，d}，ωA0={a，b，c，d，e}。

3.模糊子集运算

两个模糊子集间的运算，实际上就是逐点对隶属度做相应的运算。

（1）相等

设ωA，ωB均为中的模糊子集，若对∀X∈ 均有μωA(X)=μωB(X)，则称ωA和ωB相等，即

（2）包含

设ωA，ωB均为中的模糊子集，若对∀X∈ 均有μωA(X)≤μωB(X)，则称ωB包含ωA，即

（3）空集

设ωA为中的模糊子集，若对∀X∈均有μ A(X)=0ω，则称ωA为空集，即

（4）补集

设ωA，为中的模糊子集，若对∀X∈ 均有μωA (X)=1-μω-A (X)，则称为ωA的补集，即

设ωA，ωB，ωC均为中的模糊子集，若对∀X∈均有μωC (X)=max{μωA(X)，μωB(X)}，则称ωC为ωA与ωB的并集，即

（5）全集

设ωA为中的模糊子集，若对∀X∈均有μA(X)=1ω，则称ωA为全集，记做Ω，即

（6）并集

（7）交集

设ωA，ωB，ωC均为中的模糊子集，若对∀X∈均有μωC(X)=min{μωA(X)，μωB(X)}，则称ωC为ωA与ωB的交集，即

例：设有两个模糊子集ωA，ωB，

ω A=1.0/a+0.9/b+0.6/c+0.2/d+0.3/e+0.0/f

ω B=0.9/a+0.8/b+0.7/c+0.3/d+0.2/e+0.1/f

ω A∩ωB=0.9/a+0.8/b+0.6/c+0.2/d+0.2/e+0.0/f

ω A∪ωB=1.0/a+0.9/b+0.7/c+0.3/d+0.3/e+0.1/f

4.模糊集运算性质

在普通集合中成立的各种基本性质，一般对模糊集也成立。但由于在模糊集中，一般的互补律不成立，因而需要注意虽然模糊集在包含关系上构成分配格，但并未构成布尔格。各种基本性质如下：

一般地，以下规律不成立：

5.模糊关系

本节将介绍模糊关系的定义、建立及其运算。

（1）模糊矩阵

在现实生活中，我们常要考虑两个模糊集内各元素之间的关系，已知U、V是两论域，设U是样品甲的状态集，V是样品乙的状态集。若同时考虑甲、乙两个因素时，则其可能的状态集是由U、V中任意搭配的元素对（u，v）构成，称为U与V的笛卡儿乘积集，记做

笛卡儿乘积集是两集合元素间的无约束搭配。若对这种搭配加以一定的限制，便表现了 U、V之间的某种特殊关系，称为U、V的模糊关系R。模糊关系R的隶属函数μR(U，V)称为（U，V）具体关系R的程度，例如，μR(U,V)→[0，1]，表示U、V具体关系R的程度。

若有一批样品共有N个，每个样品有n个特征，则可把X看作一个n维列行向量，该向量X称为特征向量，样品i记做

表4-1所示为原始资料矩阵。

样品i（i=1,2,…,N）与样品j（j=1,2,…,N）之间的相似程度，表示i与j任意组合时它们之间的贴近程度，可构成模糊关系R。此时模糊关系R可以用矩阵形式表示，即

R =(ri)j，其中rij=μR(Xi，X j)

显然有0≤rij≤1，（i≥1, j≤N），满足以上条件的矩阵称为模糊矩阵。特别地，当rij∈{0，1}，（i≥1, j≤N）时，矩阵R退化为布尔矩阵。布尔矩阵可以表达一种普通的关系。

（2）模糊关系的建立

模糊关系可以用于聚类分析，但要想样品的聚类效果较好，关键应选择合理的统计指标，即被选中的指标应有明确的实际意义，有较强的分辨力和代表性。在统计指标确定后就可以按照下面的内容进行分类。

·把各代表点的统计指标的数据标准化，以便分析和比较，这一步又称正规化。为把标准化数据压缩到（0，1）闭区间，可以用极值标准化公式：

·当x′=xm′ax时，x=1；当x′=xm′in时，x=0；否则x∈ [0，1]。

·算出被分类对象间具有此种关系的程度rij（通常是Xi与X j的相似程度，i，j=1，2，…，N），N为对象个数，从而确定论域上的模糊关系R。

（3）计算rij常用的方法

1）欧氏距离法

欧氏距离法可用下式表示：

式中，Xik为第i个样品第k个特征的值，Xjk为第j个样品的第k个特征的值。

2）数量积法

数量积法可用下式表示：

式中，M为一适当选择的正数，满足。

3）相关系数法

相关系数法可用下式表示：

式中，。

4）指数相似系数法

指数相似系数法可用下式表示：

式中，为适当选择的正数。

5）非参数法

令，n+为{xi′m⋅x′jm}中大于0的个数，n-为{xi′m⋅x′jm}中小于0的个数，则非参数法可用下式表示：

6）最大最小法

最大最小法可用下式表示：

7）算术平均法

算术平均法可用下式表示：

8）几何平均最小法

几何平均最小法可用下式表示：

9）绝对值指数法

绝对值指数法可用下式表示：

10）绝对值倒数法

绝对值倒数法可用下式表示：

11）绝对值减数法

绝对值减数法可用下式表示：

12）主观评定法

主观评定法，即以百分制打分，然后除以100，得到[0，1]区间内的一个数，亦可多人打分求平均。

上述各种方法的优劣不能一概而论，应根据实际情况区分选择。

（4）模糊矩阵的运算

1）并、交、非运算的定义

定义 设一Fnm表示全体n行m列的模糊矩阵，对任意R，S∈Fnm，有R=(rij)，S=(sij)，则称

R∪S =（rij∨sij）

R∩S =（rij∧sij）

为R与S的并、交及R的余矩阵。jk,R=(rnm)ij

例如，设

如果ri =j sij对所有i，j成立，则称R=S。

单位矩阵I：对角线上为1，其余为0的模糊矩阵。

全部项为0的模糊矩阵，以0表示；全矩阵E：全部项均为1的模糊矩阵。

对任意R，S，T∈Fnm，下列性质成立：

性质1 交换律。

性质2 结合律。

性质3 分配律。

性质4 等幂律。

性质5 吸收律。

性质6 0∪R=R，0∩R=0；E∪R=E，E∩R=R。

性质7 0⊆R⊆E。

ij如果对任意i，j均有r ij≤s，则称矩阵S包含矩阵R，记做R⊆S。

性质8 R⊆S⇔R∪S =S⇔R∩S=R。

性质9 若 R1⊆S1，R2⊆S2，则有(R1∪R2)⊆(S1∪S2)，(R1∩R2)⊆(S1∩S2)。

性质10 R ⊆S⇔⊇。

性质11 R⊆S⇔R λ⊆Sλ。

性质12 (R∪S)λ=Rλ∪Sλ（此时不能推广到无限个矩阵的并集）

(R∩S)λ=Rλ∩Sλ

2）模糊关系的合成和模糊矩阵的合成

设Q∈FU×V,R∈FV×W，称Q对R的合成为U到W的一个模糊关系，它具有隶属度函数：

设Q=(q )m1，定义S=Q◦R∈Fn1且有

称矩阵Q对矩阵R的合成为矩阵S。S又称Q对R的模糊积。式中，∧表示求最小值，∨表示求最大值。

由上述定义可以得到以下结论：对于有限论域，由模糊矩阵乘积的定义，其运算过程与普通矩阵乘法相同，只不过将实数加法改成求并集，实数乘法改成求交集而已。

例如，若

如此，等等。

性质13 对模糊矩阵有

(Q◦R)λ=Qλ◦Rλ

性质14 模糊乘法结合律

(Q◦R)◦S=Q◦(R◦S)

推论：Rm◦Rn=Rm+n

性质15

(Q∪R)◦S=(Q◦S)∪(R◦S)

S◦ (Q∪R)=(S◦Q)∪(S◦R)

性质16

0◦R=R◦0,I◦R=R◦I=R

3）模糊关系的基本性质

自反性：对于一个中的模糊关系R，对所有，若μR(X,X)=1成立，则称这种模糊关系R具有自反性。

对称性：若对所有的 均有μR(Xi,Xj)=μR(Xj,Xi)成立，则称模糊关系R具有对称性。

相似关系：我们把具有自反性和对称性的模糊关系称为相似关系。

一个中的模糊关系R，如果矩阵μR(Xi,X j)中的对角线元素均为1，则R具有自反性，若主对角线对称的元素均相等，则R具有对称性。若满足R⋅R⊆R，则称R具有传递性，传递性关系实质是R包含着它与它自己的合成。

我们把具有自反性、对称性、传递性的模糊关系称为等价模糊关系。

例如：

R对角线为1，具有自反性；R关于对角线对称，具有对称性；R◦R=R，满足传递性，所以，R是一个等价矩阵。

6.模糊集在模式识别中的应用

模式识别实际上是一个分类问题，它将一个未知模式指定为已知类别中的一种。利用模糊子集理论可以将模式识别的方法归纳为两种：隶属原则识别法和择近原则识别法。在实际问题中还有另一种分类问题，也就是我们可以利用模糊关系进行聚类分析。

（1）隶属原则识别法

在通常的模式识别中，所谓模式，总是有一个明确、清晰、肯定的样式，例如，识别手写数学时，其模式就是印刷体的数字。根据隶属度最大的原则来分类是很自然的。这种直接由计算样品的隶属度来判断其归属的方法，称为模式分类的隶属度原则，又称模糊模式分类的直接方法。

隶属度原则：设论域中有M个模糊子集ω1，ω2，…,ωM，且对于每一个ωi都有隶属度函数μω(X)，对任意，若有

则认为X0属于ωi。隶属原则是明显的、公认的，但其效果却十分依赖于建立已知模式类隶属函数的技巧。

（2）择近原则识别法

在实际的模式识别中，被识别的对象往往不是论域中的一个确定的元素，而是中的一个子集。这时，所讨论的对象不是一个元素对集合的隶属程度，而是两个模糊子集间的贴近程度。

设ωA，ωB是上的两个模糊子集，则其间的贴近度定义为例如，={a，b，c，d，e，f}

式中，，分别称为A和B的内积和外积。

ω A =0.6/a+0.8/b+1.0/c+0.8/d+0.6/e+0.4/ f

ω B =0.4/a+0.6/b+0.8/c+1.0/d+0.8/e+0.6/ f

则

ωA×ωB=(0.6∨0.8)∧(0.8∨0.6)∧(1.0∨0.8)∧(0.8∨1.0)∧(0.6∨0.8)∧(0.4∨0.6)=0.6

ωA⋅ωB=(0.6∧0.4)∨(0.8∧0.6)∨(1.0∧0.8)∨(0.8∧1.0)∨(0.6∧0.8)∨(0.4∧0.6)=0.8

利用贴近度进行分类：设上有n个模糊子集ωA1，ωA2，…,ωAn及另一个模糊子集ωB，若有

则称ωB与ωAi最接近，或者说ωB属于ωA j类。

上式说明，要判别某一模糊子集ωB属于ωA1，ωA2，…，ωAn中的哪一类，应首先计算ωB与ωA1，ωA2，…，ωAn各类的贴近度，然后把ωB归入贴近度最大的那一类。