第六节　工程问题★★★★

工程问题是数学运算中常考的一个知识点，主要涉及三个量:工作总量、工作效率及工作时间。

核心公式:工作总量=工作效率×工作时间，且工作效率是解决工程问题的突破口。

解决工程问题分三步:设工作总量，求工作效率，求得答案。在设工作总量的时候，最好是设最小公倍数。因为通常设“1”会涉及分数，设“x”会涉及消元。工作总量为效率的倍数，也为时间的倍数，且不管以何种方式完成，工作总量不变为前提，可以尝试把工作总量设为一个定值(效率或时间的最小公倍数)，方便计算。

工程问题常用的解题方法有:方程法、赋特殊值法、比例法和凑数法。

一、方程法★★★

【例1】早上7点两组农民开始在麦田里收割麦子，其中甲组20人，乙组15人。8点半，甲组分出10人捆麦子; 10点，甲组将本组所有已割的麦子捆好后，全部帮乙组捆麦子;如果乙组农民一直在割麦子，什么时候乙组所有已割的麦子能够捆好?(假设每个农民的工作效率相同)(　)

A. 10: 45　　　　B. 11: 00　　　　C. 11: 15　　　　D. 11: 30

——2013年上半年联考－安徽第56题

【解析】B。用方程法求解，工作总量=工作效率×工作时间。设每个人割麦子的工作效率为x，每人捆麦子的工作效率为y。根据甲组割麦子的总量等于捆麦子总量，得:20x×1. 5+10x×1. 5 =10y×1. 5，解得y =3x。设从10点之后经过t小时，乙组的麦子全部捆好。根据乙组割麦子的总量等于甲组捆乙组麦子的总量，得:15x ×(3+ t) =20×3x×t，解得t =1小时;故11:00时麦子可以全部捆好。故选B。

二、赋特殊值法★★★

【例2】一篇文章，现有甲、乙、丙三人，如果由甲、乙两人合作翻译，需要10小时完成，如果由乙、丙两人合作翻译，需要12小时完成。现在先由甲、丙两人合作翻译4小时，剩下的再由乙单独去翻译，需要12小时才能完成，则这篇文章如果全部由乙单独翻译，要(　)小时能够完成。

A. 15　　　　B. 18　　　　C. 20　　　　D. 25

——2014年河北事业单位第71题

【解析】A。用赋特殊值法求解，题目只给出了不同的工作时间，没有具体的工作量，假设工作总量为10和12的最小公倍数60，则有:甲效率+乙效率=60÷10，乙效率+丙效率=60÷12，(甲效率+丙效率)×4+乙效率×12 =60，解得:乙效率=4。因此，这篇文章如果全部由乙单独翻译，要60÷4 =15小时能够完成。故选A。

三、比例法★★★

比例法的核心是，在工程问题中，工作量相等，则时间与效率成反比;时间相等，则工作量与效率成正比。

【例3】某工程由五支工作效率成等差数列的施工队完成，前一半工程由效率最高的三个队共同完成，需5天，后一半工程由五个队伍共同完成，需要4天。如果后一半工程由效率最低的三个施工队共同完成，需要多少天?(　)

A. 7　　　　B. 10　　　　C. 15　　　　D. 20

——2014年宁夏事业单位第64题

【解析】B。用比例法求解，前一半工程和后一半工程的工作量一样，由“工作量相等，效率与时间成反比”可得，效率最高的三个队效率∶五个队的效率=4∶5;假设五个队的效率从高到低依次为a1、a2、a3、a4、a5，且公差为d，则有:，化简得a1=－5d;那么，，则由“前一半工程由效率最高的三个队共同完成需5天”可知，后一半工程由效率最低的三个队共同完成需要时间为10天。故选B。

四、凑数法

【例4】单独完成某项工作，甲需要16个小时，乙需要12个小时，如果按照甲、乙、甲、乙的顺序轮流工作，每人1小时，那么完成这项工作需要多长时间?(　)

A. 13小时40分钟　　　　B. 13小时45分钟

　　　C. 13小时50分钟　　　　D. 14小时

——2013年重庆事业单位第9题

【解析】B。采用凑数法求解，甲每小时完成，乙每小时完成，12个小时后甲乙一共完成，还剩余，甲再做1个小时后剩余，乙再用(小时) =45分钟完成，一共用了13小时45分钟。故选B。