第七节　路程问题★★★★

路程问题核心公式:路程=速度×时间; s相等，则v与t成反比; v相等，则s与t成正比; t相等，则s与v成正比。

一、相遇追及

1.相遇

相遇问题基本公式:相遇距离=(大速度+小速度)×相遇时间。

【例1】甲、乙两人沿直线从A地步行至B地，丙从B地步行至A地。已知甲、乙、丙三人同时出发，甲和丙相遇后5分钟，乙与丙相遇。如果甲、乙、丙三人的速度分别为85米/分钟、75米/分钟、65米/分钟。问AB两地的距离为多少米?(　)

A. 8000　　　　B. 8500　　　　C. 10000　　　　D. 10500

——2014年河南三门峡事业单位第57题

【解析】D。设AB两地相距s。丙与甲、乙二人相遇，即丙分别与甲、乙二人相向走完s，两次相遇过程中s是不变的。甲、乙、丙三人同时出发，甲和丙相遇5分钟后乙和丙相遇，说明甲丙走完全程的时间比乙丙少用5分钟。甲、乙、丙的速度分别为85米/分钟、75米/分钟、65米/分钟。即s÷(85+65)+5 = s÷(75+65)，解得s = 10500米。故选D。

【秒杀技巧】s = vt，则s是v的倍数，也是t的倍数。该题为相遇问题，速度和分别为75+65 =140，85+65 = 150，S可能为速度和150和140的整倍数，选项中满足条件的只有D。

2.追及★★★★

追及问题基本公式:追及距离=(大速度－小速度)×追及时间。

【例2】在同一环形跑道上小陈比小王跑得慢，两人都朝同一方向跑步时，每隔12分钟相遇一次;若两人速度不变，其中一人按相反方向跑步，则隔4分钟相遇一次。问两人跑完一圈花费的时间小陈比小王多(　)分钟。

A. 5　B. 6　C. 7　D. 8

——2012年江西事业单位第44题

【解析】B。由题目中“两人先同向相遇，再反向相遇”可知:本题是一道相遇与追及结合的问题。设小陈的速度为x，小王的速度为y，环形跑道的周长为S，同向相遇时有:(y－x)×12 = S，反向相遇时有:(x+ y)×4 = S，得，小陈跑完一圈用时分钟，小王跑完一圈用时分钟，所以，跑完一圈，小陈比小王多用12－6 =6分钟。故选B。

【秒杀技巧】路程问题中S是T的倍数，即既是4的倍数，又是12的倍数，可以设路程为12，则相遇速度和为12÷4 =3，追及速度差为12÷12 =1。解出小陈的速度为1，跑一圈需要12分钟。小王的速度为2，跑一圈的时间为6分钟。因此，跑一圈小陈比小王多用12－6 =6分钟。

二、多次相遇★★★

1.从左右两点出发:第N次迎面相遇，路程和=全程×(2N－1) ;第N次追上相遇，路程差=全程×(2N－1) ;

2.从同一点出发:第N次迎面相遇，路程和=全程×2N;第N次追上相遇，路程差=全程×2N。

【例3】a大学的小李和b大学的小孙分别从自己学校同时出发，不断往返于a、b两校之间。现已知小李的速度为85米/分钟，小孙的速度为105米/分钟，且经过12分钟后两人第二次迎面相遇。问ab两校相距多少米?(　)

A. 1140　米　　　B. 980米　　　　C. 840米　　　　D. 760米

——2011年浙江省考第52题

【解析】D。根据多次相遇结论，从两点出发第二次迎面相遇两人路程和为3个全程，故路程和=速度和×时间=(85+105)×12 =190×12 =3倍全程，则一个全程为760米。故选D。

【例4】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游37. 5米，乙每分钟游52. 5米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次?(　)

A. 2　　　　B. 3　　　　C. 4　　　　D. 5

——2011年国考第68题

【解析】B。根据多次相遇结论，从两点出发两人相遇次数=迎面相遇次数+追上相遇次数，路程和=速度和×时间=(52. 5+37. 5)×110÷60 =90×11÷6，一个全程30米，两人路程和等于5. 5个全程，迎面相遇3次;路程差=速度差×时间=(52. 5－37. 5)×110÷60 =15×11÷6，一个全程30米，两人路程差等于11/12个全程，追上相遇0次;因此，两人共相遇次数为3+0 =3次。故选B。

【例5】河道赛道长120米，水流速度为2米/秒，甲船静水速度为6米/秒，乙船静水速度为4米/秒。比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇?(　)

A. 48　　　　B. 50　　　　C. 52　　　　D. 54

——2013年辽宁事业单位第47题

【解析】C。根据多次相遇结论，两人从同一点出发，第二次迎面相遇两人路程和为4个全程，由于甲船较快，我们假设甲走了2个全程多一个x，乙走了2个全程少一个x，而且本题中存在顺水逆水问题，往返速度不一样，对于此类题目，建议采用图示法。

从起点出发到两人相遇，时间相同，则有:，解得x =56，t甲= t乙=52。故选C。

三、间歇运动★★★

两人围绕某一环形(或三角形、四边形等)跑道运动，每个人走一段时间休息一段时间，或者走一段路程休息一段时间，或者在环形跑道固定点休息一段时间，由此产生的追及问题，我们称它为间歇运动。

解决间歇运动的核心是找清运动主要对象，运动路程长度固定时，先考虑没有休息时的运动情况，然后再根据题意将休息间隔插入到运动轨迹中。运动路程不固定时，先计算周期长度，然后选择与选项接近的整数周期估算，再逐步调整。

【例6】小王去一个离家12公里的地方，他每小时步行3千米，每步行50分钟他要休息10分钟，8点整出发，他几点可以到目的地?(　)

A. 12: 00　　　　B. 12: 30　　　　C. 12: 35　　　　D. 12: 40

——2014年辽宁村官第41题

【解析】D。小王不休息的话他走12公里所需的时间是12÷3 =4小时，4小时包含4个50分钟余40分钟，因此小王总共休息了4个10分钟，那么小王花费的总时间是4小时40分钟，也就是小王到达目的地的时间是12:40。故选D。

技巧点燃

本题很多同学会有如下解法:根据题意每小时中有50分钟行走、10分钟休息，则每个小时小王实际行进2. 5千米，因此要步行12千米，用时为12÷2. 5 =4. 8小时，合4小时48分钟。这是一种典型的错误解法，因为这样相当于取的是等价速度，在整数小时部分不会出现错误，但在非整数部分也即在最后一段，并不是按等价速度来行进的，而是直接行进40分钟已经到达目的地，无休息时间。

【例7】甲乙两人计划从A地步行去B地，乙早上7: 00出发，匀速步行前往，甲因事耽搁，9: 00才出发。为了追上乙，甲决定跑步前进，跑步的速度是乙步行速度的2. 5倍，但每跑半小时都需要休息半小时，那么甲什么时候才能追上乙?(　)

A. 10: 20　　　　B. 12: 10　　　　C. 14: 30　　　　D. 16: 10

——2012年国考第72题

【解析】C。赋值乙的速度为12，则甲的速度为30。乙提前2个小时出发，因此追及距离为24。因为甲跑半个小时，休息半个小时，故以一个小时为一个周期。考虑一个周期内的行进情况，甲前进15，而乙前进12，因此一个周期内两者缩短距离为3。而单纯考虑半个小时，甲行进15，而乙行进6，差值为9。故完整的追及周期至少有(24－9)÷3 =5个。因为此处计算恰好整除，则必然是5个小时后(到达14:00)，甲乙相距9，再只需半个小时即可追上。故选C。

四、沿途数车

两车间距=背后(追及)时间间隔×(车速－步速) ;

两车间距=迎面(相遇)时间间隔×(车速+步速)。

【例8】小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔30分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。问:该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?(　)

A. 30　　　　B. 25　　　　C. 24　　　　D. 20

——2013年湖北村官第43题

【解析】C。假设小明在路上向前行走了60(20、30的最小公倍数)分钟后，立即回头再走60分钟，回到原地。这时在前60分钟他迎面遇到60÷20 =3辆车，后60分钟有60÷30 =2辆车追上他。那么在两个60分钟里他共遇到朝同一方向开来的5辆车，所以发车的时间间隔为:60×2÷(3+2) =24分。故选C。

【例9】为了保持赛道清洁，每隔10分钟会有一辆清扫车从起点出发，匀速清扫赛道，甲、乙两名车手分别驾驶电动车和自行车考察赛道，甲每隔5分钟追上一辆清扫车，每隔20分钟有一辆清扫车追上乙，问甲的速度是乙的多少倍?(　)

A. 3　　　　B. 4　　　　C. 5　　　　D. 6

——2013年重庆市考第93题

【解析】D。清扫车发车的间隔距离不变，则有=20，解得: v甲=3v车，v乙=v车。因此，甲的速度是乙的6倍。故选D。

五、比例巧解★★★★

假设两个运动的物体A和B在进行比赛，物体A的速度为vA，物体B的速度为vB，则:

1.如果两者比赛的路程均为s，两者所用的时间分别为tA和tB，可以推出:

tA∶tB=(s÷vA)∶(s÷vB) = vB∶vA，即: vA∶vB= tB∶tA

2.如果两者比赛的时间均为t，两者所走的路程分别为sA和ssB，可以推出:

sA∶sB=(vA×t)∶(vB×t) = vA∶vB，即sA∶sB= vA∶vB

由上述推导过程可以得出以下结论:(1)若路程相等，则速度比等于时间反比;(2)若时间相等，则路程比等于速度比。在求解路程问题的过程中，看题目所问是什么，如果求速度比，要么找出相同路程内的时间反比，要么找出相同时间内的路程比，两种方法均可;如果求路程比，则可以通过求相同时间内的速度比来解决。

【例10】甲乙两地相距600千米，大车和小车都从甲地开往乙地，大车的速度是50千米/小时，大车早上9点出发，小车中午12点出发，中间都没有休息，结果小车比大车提前3小时到乙地，小车和大车的速度比是多少?(　)

A. 2∶1　　　　B. 3∶1　　　　C. 12∶5　　　　D. 5∶12

——2012年甘肃事业单位第34题

【解析】A。到达乙地时，大车所用时间为600÷50 =12小时，小车所用时间为12－(12－9)－3 =6小时，小车和大车的时间比为1∶2，根据“若路程等，则速度比是时间反比”，可知小车和大车速度比为2∶1。故选A。

【例11】某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返须1小时。该劳模在下午1点整就离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午2点40分到达。问汽车的速度是劳模步行速度的多少倍?(　)

A. 5倍　　　　B. 6倍　　　　C. 7倍　　　　D. 8倍

——2011年宁夏事业单位第32题

【解析】D。根据题意，此题中路程一定，速度和时间成反比，只需找出时间比，便可求出速度比。车一共行驶40分钟，故在行驶20分钟时遇到劳模，这时劳模已走了2时40分－1时－20分=80分钟。由于车比计划提前20分钟到达，那么劳模走的80分钟的路程车只需行驶20÷2 =10分钟，故汽车的速度是劳模速度的8倍。故选D。

【例12】A、B两地以一条公路相连。甲车从A地，乙车从B地以不同的速度沿公路匀速率相向开出。两车相遇后分别掉头，并以对方的速率行进。甲车返回A地后又一次掉头以同样的速率沿公路向B地开动。最后甲、乙两车同时达到B地。如果最开始时甲车的速率为x米/秒，那么最开始时乙车的速率为(　)。

A. 4x米/秒　　B. 2x米/秒　　C. 0. 5x米/秒　　D.无法判断

——2013年江西村官第41题

【解析】B。如下图所示，该题可以认为甲车一直以x米/秒跑了一段AB距离，而乙车一直以开始时的速率在相同的时间内跑了两段AB距离。时间相等，速度比等于路程比，所以乙车最开始的速率为甲车速率的两倍，即2x米/秒。故选B。

六、流水问题

流水问题，需要掌握下面几个公式:

顺水速度=船速+水速;逆水速度=船速－水速;

船速=(顺水速度+逆水速度)÷2;水速=(顺水速度－逆水速度)÷2;

【例13】一艘货船，第一次顺流航行420千米，逆流航行80千米，共用11小时，第二次用同样的时间顺流航行了240千米，逆流航行了140千米。问水流速度是多少千米/小时?(　)

A. 12　　　　B. 16　　　　C. 20　　　　D. 24

——2013年四川省考第54题

【解析】C。假设顺水速度为a，逆水速度是b，则有:420÷a+80÷b =240÷a+140÷b，化简得到a =3b;将a用b代替，解得b =20，则a =60，所以水速=(60－20)÷2 =20。故选C。

【例14】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级?(　)

A. 80级　　　　B. 100级　　　　C. 120级　　　　D. 140级

——2013年贵州事业单位第41题

【解析】B。可把电梯运行速度看作水速，人的步行速度看作船速;设电梯每秒钟上升x级，电梯共有N级，则有: N =40×(x+2)，N =50×(x+3/2)，解得N =100。故选B。

七、队伍行进

队伍行进问题同电梯上下行问题一样，也是流水行船问题的变形，可以直接套用公式解题。

原理如下:如果人是由队尾走到队头，因为人和队伍是朝相同的方向行进，所以人的速度相当于减慢了，要用实际速度减去队伍速度(例如，若人的速度为3米/秒、队伍的速度为1米/秒，则人相对于队伍的速度为2 米/秒)。反之，如果人是由队头走到队尾，此时人和队伍朝相反的方向行进，则人的速度要用实际速度加上队伍速度。此外，整个过程中所走的路程为队伍总长。

公式如下:

队伍长度=(人速－队伍速度)×时间——人和队伍同向而行;

队伍长度=(人速+队伍速度)×时间——人和队伍反向而行。

【例15】一列队伍沿直线匀速前进，某时刻一传令兵从队尾出发，匀速向队首前进传送命令，他到达队首后马上以原速返回，当他返回队尾时，队伍行进的距离正好与整列队伍的长度相等。问传令兵从出发到最后到达队尾所行走的整个路程是队伍长度的多少倍?(　)

——2012年云南事业单位第74题

【解析】C。设队伍的速度为x，传令兵的速度为y，队伍的长度为1，整个过程队伍行进的时间为，则传令兵所走的总路程为。当传令兵到达队首时所用时间为，然后返回队尾所用时间为，整个过程所用的时间与队伍行进的时间相同。即有，通分: y2－x2－2xy =0，可转化为:()2－2－1 =0，解得=1+ 或1－(舍去)。故选C。

【例16】一支600米长的队伍行军，队尾的通讯员要与最前面的连长联系，他用3分钟跑步追上了连长，又在队伍休息的时间以同样的速度跑回了队尾，用了2分24秒，如队伍和通讯员均匀速前进，则通讯员在行军时从最前面跑步回到队尾需要多长时间?(　)

A. 48秒　　　　B. 1分钟　　　　C. 1分48秒　　　　D. 2分钟

——2012年安徽省考第64题

【解析】D。通讯员从队尾到队首用3分钟，所以通讯员和队伍的速度差为200米/分钟，通讯员的速度为600÷2. 4 =250米/分钟，所以队伍速度为50米/分钟，在队伍行进中从队首到队尾需要600÷(250+50) =2分钟。故选D。

八、列车问题

与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度，大多数情况可以直接利用公式。

火车过桥的时间=(车长+桥长)÷车速;

火车相遇的时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速+乙车速) ;

火车追及的时间=(甲车长+乙车长+距离)÷(甲车速－乙车速)。

【例17】铁路旁有一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北走的农民，12秒后离开这个农民。问军人与农民何时相遇?(　)

A. 8点20分　　　　B. 8点25分　　　　C. 8点30分　　　　D. 8点35分

——2013年河南郑州事业单位第39题

【解析】C。由题可知，火车速度为米/秒。设军人速度为x米/秒，农民速度为y米/秒。根据题意有:，解得: x =1。当火车遇到农民时，军人和农民相距路程为(6×60－15) =2640米，2640÷(1+)÷60 =24分钟，所以8点30分两人相遇。故选C。

【例18】隧道长1500米，有一列长150米的火车通过隧道，从车头进入到完全通过时间为50秒，火车完全在隧道中的时间是(　)秒。

A．43. 2　B. 40. 9　C. 38. 3　D. 37. 5

——2014年河南军转干第48题

【解析】B。由“隧道长1500米，列车长150米，从车头进入到完全通过时间为50秒”可知，火车速度为(1500+150)÷50 =33米/秒;“火车完全在隧道中”意味着火车行驶的路程为隧道长与火车长之差;因此，所求为(1500－150)÷33≈40. 9秒。故选B。

九、牛吃草问题★★★

牛吃草问题又称牛顿问题，典型的条件是:假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需要的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于牛吃的天数不同，草又天天在生长，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。

牛吃草问题的核心公式:原草量=(牛头数×每头牛吃的速度－草长速度)×时间。

【例19】某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场，而每分钟来的观众人数一样多。从开始检票到等候队伍消失，若同时开4个入场口需50分钟，若同时开6个入场口需30分钟。问如果同时开7个入场口需要几分钟?(　)

A. 18分钟　　　　B. 20分钟　　　　C. 22分钟　　　　D. 25分钟

——2012年浙江省考第57题

【解析】D。根据题意，由牛吃草公式可得:每分钟来观众数==1。则检票前有观众数为50×(4－1) =150，故开放7个入场口需150÷(7－1) =25分钟。故选D。

【例20】一条船因触礁船体破了一个洞，海水均匀地进入船内。发现船漏时，船已经进了一些水。如果13个人舀水，3小时可以舀完;如果6人舀水，10小时可以舀完。如果在2小时内舀完水，最少需要多少人?(　)

A. 15　　　　B. 16　　　　C. 17　　　　D. 18

——2014年新疆省考第63题

【解析】D。由牛吃草公式可知，海水进入船内的速度为(6×10－13×3)÷(10－3) =3，则发现船漏时，船内已经有水(6－3)×10 =30。因此，如果在2小时内舀完水，需要人数为30÷2+3 =18人。故选D。