第十三节　极值问题★★★★★

极值问题的标志是问题中通常含有“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最快”、“最慢”、“最高”、“最低”等字样，可考虑极端分析法，其基本思想是构造“极端”的情形。

一、总和固定★★★★★

题目给出几个数的和，求“某个数的最大值/最小值”;解题思路是:利用“反面思想”，如果求“最大值”，则假设其余数均为最小，用和减去其余数，即可;如果求“最小值”，则假设其余数均为最大，用和减去其余数，即为所求。

【例1】某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店?(　)

A. 2　　　　B. 3　　　　C. 4　　　　D. 5

——2014年国考第65题

【解析】C。“和为定值100，求最小数的最大值，则令其余数尽可能取最小值”，设排名最后的专卖店数量为x家，那么根据专卖店数量从少到多的顺序为x，x+1，x+2，x+3，x+4，12，13，14，15，16，由5x+80 =100，得x = 4。故选C。

【例2】某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门。假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名?(　)

A. 10　　　　B. 11　　　　C. 12　　　　D. 13

——2013年国考第61题

【解析】B。“和为定值65，求最大数的最小值，则让其他数尽可能大”。设最大数(即行政部门人数)为x，则其他6个部门均为x－1，因此有7x－6 =65，解得x =10…1，取11。故选B。

技巧点燃

总和固定中的极值问题，在设其他数的值时，要看清楚题目有没有说其他数值不等，如果没说，就可令其他数值相等，这样求出来的数值才是最极端值。比如:例1中，我们设的是其他数的最大值依次差1，因为题目说了“每个城市的专卖店数量都不同”;但是，例2中，就没有说“不同”，如果我们按照“不同”来设其他数的最大值，那么算出来的至少值是13，而不是正确答案11，这一点是需要考生朋友特别注意的地方。

二、函数极值★★★

该类题目常涉及两个未知数，这两个未知数出现在一个方程中，且其中某个未知数呈现2次或者3次幂的形式，要我们求另外一个未知数的最大值;解决方案:如果题目中给出了函数式，直接对函数式进行求导解决;若没有给出函数式，需要我们根据题意恰当地设置未知数，列出函数式，再进行求导解决。

【例3】某企业净利润L与产量Q(单位:万件)之间的关系为: L(Q) =，问该企业的最优利润是(　)万元。

——2014年山东选调生第69题

【解析】A。题目给了一个三次函数，求L的最大值，首先对函数求导，得其导数为L'(Q) =－Q2+4Q。当该导数为0时，其利润取最大值，则Q =0或者4;又产量为0时，得到的肯定不是最优利润，故Q =4。因此，该企业的最优利润是12万元。故选A。

【例4】4辆车运送货物，每辆车可运16次，7辆车运送，每辆车只能运10次。设增加的车辆数与运送减少的次数成正比，且每车次运送货物相等，运送货物总量最多是多少车次?(　)

A. 72　　　　B. 74　　　　C. 64V　　　D. 68

——2014年广东揭阳农信社第9题

【解析】A。假设x为增加的车辆数，y为总的运货车次，根据“设增加的车辆数与运送减少的次数成正比”，则有y =(4+ x)×(16－2x) =－2x2+8x－64，这是一个二次函数，要求y的最大值。我们对y =－2x2+8x－64进行求导，有y' =－4x+8 =0;当x =2时，y有最大值，最大值是y =(4+ x)×(16－2x) =(4+2)×(16－2×2) =6×12 =72。故选A。

三、抽屉原理★★★★

抽屉原理1:把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。抽屉原理2:把多于m×n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。以上两个原理，就是我们解决抽屉问题的重要依据。抽屉问题可以简单归结为一句话:有多少个苹果，多少个抽屉，苹果和抽屉之间的关系。

解此类问题的重点是要找准“抽屉”，只有“抽屉”找准了，“苹果”才好放。其次，解抽屉原理常用倒霉思想，即考虑最坏的情况。

【例5】箱子里有大小相同的3种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3颗为一组，问至少要摸出多少组，才能保证至少有2组玻璃珠的颜色组合是一样的?(　)

A. 11　　　　B. 15　　　　C. 18　　　　D. 21

——2014年安徽省考第3题

【解析】A。由问题“至少……才能保证”知该题考查抽屉问题，利用倒霉思想解题，即考虑最坏的情况。3颗玻璃珠为1组，每组组合的颜色均不同，分为每组1种颜色、2种颜色和3种颜色。每组一种颜色有3种情况，每组两种颜色有×=6种情况，每组三种颜色有1种情况，因此不同的颜色组合共有3+6+1 =10种，即“不同的抽屉”有10种;由抽屉问题的公式“总数=抽屉数×(保证数－1)+1+其他情况”，得总数=10×(2 －1)+1 =11组。故选A。

【例6】一个袋内有100个球，其中有红球28个、绿球20个、黄球12个、蓝球20个、白球10个、黑球10个。现在从袋中任意摸球出来，如果要使摸出的球中，至少有15个球的颜色相同，问至少要摸出几个球才能保证满足上述要求?(　)

A. 78个　　　　B. 77个　　　　C. 75个　　　　D. 68个

——2014年湖北事业单位第37题

【解析】C。题中求的是“至少摸出几个球”，而摸出任一个球的颜色是随机的。要使摸出的球中“至少”有15个球的颜色相同，我们可以求“至多”摸出多少个球能使其中至多14个球的颜色相同。“至多”的情况下我们可以摸出14个红球、14个绿球、12个黄球、14个蓝球、10个白球、10个黑球。再摸出任意一个球必然使其中红球或绿球或蓝球的数量达到15。所以我们“至多”可以摸出的球的数量为: 14+ 14+ 12+ 14+ 10+ 10 = 74个。所以，我们至少应摸出球数为74+1 =75个。故选C。

四、统筹问题★★★

统筹问题是研究怎样节省时间、提高效率的问题。常见分类有:时间最少、产量最高、巧妙称量、优惠方案、人员分配、空瓶换酒，以及其他题型。

1.时间最少

考生经常会碰到求“时间最少是多少”、“怎样安排时间最短”、“最短为多少分钟”等这样的试题，此类试题即为统筹问题中的“时间最少型”试题。该类问题没有固定的公式，需要结合日常的生活经验来进行分析。

“时间最少型”试题有以下做题原则:

如果是多人依次做事情，则让占时间最少的事件先进行;

如果是一人做多件事情，则让能同时做的事情一起进行;

如果是几件事情同时进行，则尽量把最耗时的几件事同时完成。

【例7】某美发厅有甲、乙两位理发师。星期天下午同时来了5位顾客。根据发型不同，给这5位顾客理发所需要的时间分别为10分、12分、15分、21分、25分。则这5位顾客理发和等候所需要的时间总和最少为多少分钟?(　)

A. 37　　　　B. 47　　　　C. 120　　　　D. 130

——2012年山西事业单位第31题

【解析】D。根据每个顾客所需时间不同，制定一个最优顺序使总时间最短。5位顾客理发总时间为10+12+15+21+25 =83分钟，83÷2≈41分钟，所以甲、乙两位理发师工作时间应比较接近41分钟，这样5位顾客理发及等候的总时间最少。故安排为:甲接待10分、12分和21分的顾客，乙接待15分、25分的顾客，这样5位等候时间是10×2+12×1+15×1 =47分钟。理发及等候总时间是83+47 =130分钟。故选D。

【例8】妈妈让李明给客人烧水沏茶，洗水壶要1分钟，烧开水要15分钟，洗茶壶要1分钟，洗茶杯要2分钟，拿茶叶要2分。为了让客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏好?(　)

A. 15　　　　B. 16　　　　C. 17　　　　D. 18

——2013年广西事业单位第31题

【解析】B。本题中李明一个人要完成整个烧水沏茶过程，要想时间最短，按照“能同时做的事情一起进行”的原则，可做如下安排:洗水壶1分钟，烧开水15分钟，共计16分钟。在烧开水的时候，洗茶壶1分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶2分钟，共计5分钟，这5分钟可以和刚才的烧开水15分钟同时进行。因此，最短时间为16分钟。故选B。

【例9】毛毛骑在牛背上过河，他共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲过河要2分钟，乙过河要3分钟，丙过河要4分钟，丁过河要5分钟。毛毛每次只能赶2头牛过河，要把4头牛都赶到对岸去，最少要多少分钟?(　)

A. 16　　　　B. 17　　　　C. 18　　　　D. 19

——2010年吉林省考乙级第6题

【解析】A。因为是允许两头牛同时过河的(骑一头，赶一头)，所以若要时间最短，则一定要让耗时接近的两头牛同时过河;把牛赶到对面后要尽量骑耗时最短的牛返回。安排如下:(1)甲乙过河，再骑甲回来，合计5分钟;(2)丙丁过去，再骑乙回来，共计8分钟;(3)再甲乙过去，3分钟。最短时间共计16分钟。故选A。

【例10】某洗车店洗车分外部清洁和内部清洁，两道工序时间均不少于30分钟，而且同一辆车两道工序不能同时进行，洗车间同一时间只能容下2辆车。现有9辆车需要清洗。汽车进出洗车间的时间可忽略不计，则洗完9辆车至少需要的时间为(　)。

A. 330分钟　　　　B. 300分钟　　　　C. 270分钟　　　　D. 250分钟

——2012年河南省政法干警第43题

【解析】C。外部清洁和内部清洁可同时进行，看作1次清洁，9辆车共需要9次清洁，每次用时30分钟，总时间=30×9 =270。故选C。

2.产量最高

产量最高型试题一般是给出两个人各自生产两种不同产品的效率，这两种产品恰好可以配成一套。问在规定的时间内，两人合作的最多产量是多少。解决此类试题，一般可以遵循以下步骤:

(1)根据题目已知条件，求得两人两种不同产品的效率比;

(2)根据效率比，得出合作生产的最佳方案;

(3)让擅长做某产品的人集中精力单做某产品，第二个人利用一部分时间单做另一产品，和第一个人生产的产品相配套;

(4)第二个人利用剩下的时间同时生产两种产品，使之相配套;

(5)前后两次生产的产品相加，即为最多产量。

【例11】师徒两人生产一产品，每套产品由甲乙配件各1个组成。师傅每天生产150个甲配件或75个乙配件;徒弟每天生产60个甲配件或24个乙配件，师徒决定合作生产，并进行合理分工，则他们工作15天后最多能生产该种产品的套数为(　)。

A. 900　　　　B. 950　　　　C. 1000　　　　D. 1050

——2014年江苏省考A卷第33题

【解析】D。1.根据题目已知条件，求得两人两种不同产品的效率比——师傅制作甲乙的效率比为2∶1，徒弟制作甲乙的效率比为2. 5∶1; 2.根据效率比，得出合作生产的最佳方案——要使得限定的时间内工作总量最多，比较合理的方案是使徒弟用全部时间生产甲配件，师傅根据情况一部分时间生产乙配件与徒弟生产的甲配件配套，剩下的一部分时间同时生产甲乙配套; 3.让擅长做某产品的人集中精力单做某产品，第二个人利用一部分时间单做另一产品，和第一个人生产的产品相配套——徒弟15天全部生产甲，可以制作900个;师傅先生产900个乙配件和徒弟的900个甲配件配套，则现在有产品900套; 4.第二个人利用剩下的时间同时生产两种产品，使之相配套——师傅还剩下15－(900÷75) =3天时间。根据“师傅每天生产150个甲配件或者75个乙配件”，可知师傅生产一套产品(一个甲配件和一个乙配件)用时()天，那么剩下的3天时间，师傅可生产产品套; 5.前后两次生产的产品相加，即为最多产量——因此，两人合作生产，15天时间最多可以生产该产品900+150 =1050套。故选D。

【例12】甲乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西服。甲厂每月用的时间生产上衣，的时间生产裤子，全月恰好生产900套西服;乙厂每月用的时间生产上衣,的时间生产裤子，全月恰好生产1200套西服。现在两厂联合生产，尽量发挥各自特长多生产西服，那么现在每月比过去多生产西服多少套?(　)

A. 30　　　　B. 40　　　　C. 50　　　　D. 60

——2013年河南农信社第41题

【解析】D。尽量发挥各组在生产上的优势，使总利益最大化。甲厂全月只生产上衣可生产出900÷= 1500件，只生产裤子可生产出900÷=2250件;乙厂全月只生产上衣可生产出1200÷=2100件，只生产裤子可生产出1200÷=2800件。可以看出两厂生产裤子的效率都要高于生产上衣的效率，但因为是配套生产，要使两厂联合生产套装的效率最大化，则两厂应发挥自己生产上的相对优势，使生产出的上衣数与裤子数尽可能接近，故可让乙厂全月生产上衣，甲优先生产裤子。乙厂全月可生产上衣:1200÷=2100件;同时安排甲厂先全力生产2100条裤子，需要2100÷2250 =月，然后甲厂再用月单独生产西服:900×= 60套，故现在比原来每月多生产2100+60－(900+1200) =60套。故选D。

3.巧妙称量★★★

称量问题——其实就是考查在客观条件有限的情况下，如何达到目标。这类问题，我们的做法就是每做一步都要朝目标靠近一步，向目标靠拢就是解题的关键和思维方式。

【例13】如果售货员将一袋袋的水饺摆成10堆，其中9堆是合格的，每袋500克;一堆是份量不足的，每袋450克，从外形上看，分不出哪一堆是450克的，执法人员最少称几次就可发现份量不足的那一堆?(　)

A. 1次　　　　B. 2次　　　　C. 3次　　　　D. 4次

——2013年天津招警第6题

【解析】A。首先将这10堆水饺分别编号为1、2、3、4、5、6、7、8、9和10号;然后分别从第1堆水饺中拿出1袋，第2堆水饺中拿出2袋，第3堆水饺中拿出3袋……第10堆水饺中拿出10袋，将这“1+2+3+4……+10 =55”袋水饺放在一起，称出总的重量来;如果这些饺子都是合格的重量，那么总重将是标准重量，即“500克/ 袋×55袋”;如果其中有N包不合格的水饺，总量将比标准重量轻N个50克，那么就可以判断出是从第N堆当中拿出了份量不足的水饺。所以，最少称1次就可发现份量不足的那一堆。故选A。

【例14】一架天平，只有5克和30克的砝码各一个，要将300克的食盐平均分成三份，最少需要用天平称几次?(　)

A．6次　B. 5次　C. 4次　D. 3次

——2014年河北省考第46题

【解析】D。第一步称重:30克砝码放入天平一边托盘，将300克食盐倒入两边托盘，使天平平衡，此时两边托盘的食盐分别是165克和135克;第二步称重:5克和30克砝码放入天平一边托盘，从135克食盐中称出35克，剩余100克;第三步称重:将35克与165克食盐混合，为200克，利用天平将其平分为两份100克食盐。因此，完成目标最少需要称重3次。故选D。

4.优惠方案

优惠方案问题，最快捷的方法就是举例子，赋特殊值代入求解。

【例15】某服装专卖店提供两种促销方式供消费者选择。消费者可以全价购买一件价格较高的服装，获赠一件价格较低的服装，而所有不参加买赠活动的服装均可享受7折优惠。张女士准备买3件价格不同的服装，已知其中两件的价格之和是另一件价格的2倍，且任一件服装的价格不超过另一件的2倍。张女士如果想以最低价格支付，应该选择以下哪种方式?(　)

A.全价购买最贵的一件　　　　B.全价购买价格居中的一件

　C.全价购买最便宜的一件　　　D.全单享受7折

——2014年安徽政法干警第68题

【解析】A。假设这三件衣服的价格分别为13、10、7元，那么，按照A项方案，花费为13+7×0. 7 =17. 9元(此时，10元那件不花钱) ;按照B项方案，花费为13×0. 7+10 =19. 1元(此时，7元那件不花钱) ;按照C项方案，花费为(13+10)×0. 7+7 =23. 1元;按照D项方案，花费为(13+10+7)×0. 7 =21元。可见，按照A项方案，花费最低。故选A。

【例16】去某地旅游，旅行社推荐了以下两个报价方案:甲方案成人每人1000元，小孩每人600元;乙方案无论大人小孩，每人均为700元。现有N人组团，已知1个大人至少带3个小孩出门旅游，那么对于这些人来说(　)。

A.只要选择甲方案都不会吃亏　　B.甲方案总是比乙方案更优惠

　C.乙方案总是比甲方案更优惠　　D.甲方案和乙方案一样优惠

——2011年重庆市考第56题

【解析】A。1个大人带3个孩子的费用是:甲方案1000+600×3 =2800元，乙方案700×4 =2800元。若1个大人带3个以上的孩子，费用是:甲方案2800+ 600×a，乙方案2800+ 700×a，所以甲方案总是比乙方案合算。故选A。

5.人员分配

人员分配问题是研究如何分配使其所用人员数量达到最少的最优分配，该问题在考试中也常遇到。一般表述为:在汽车运输中，为了减少空驶里程，提高汽车的里程利用率，往往要组织巡回运输。这样，一辆汽车开出后，中途就会经过若干个装卸点，每个装卸点货物不同，需要的装卸工人数也不相同。于是，就产生了怎样调配装卸工人，才能充分发挥他们的效率的问题。

★★★核心法则:

如果有X个工厂和Y辆车，则最少需要的装卸工人数为:

(1)当X＞Y时，所需要的装卸工总数最少是需要装卸工人数最多的Y个工厂所需要的装卸工人数之和;

(2)当X≤Y时，所需要的装卸工总数最少是各个工厂需要的装卸工人数之和。

【例17】某车队有7辆汽车，担负着十一家公司的运输任务，这十一家公司分别需要11、19、14、21、13、11、12、16、15、17、18名装卸工;如果安排一部分装卸工跟车装卸，则不需要那么多装卸工，而只要在装卸任务较多的公司再安排一些装卸工就能完成装卸任务，那么在这种情况下，总共至少需要(　)名装卸工才能保证各公司的装卸要求?(　)

A．126　B．123　C．120　D．118

——2012年山东事业单位第51题

【解析】C。根据人员分配问题核心法则，公司数(11)大于车辆数(7)，则所需要的装卸工总数最少是需要装卸工人数最多的7家公司所需要的装卸工人数之和，即19+14+21+16+15+17+18 =120。选C。

【例18】4艘轮船负责6个码头之间的货物调配任务，已知这6个码头所需装卸工的数量分别为12人、10人、6人、8人、3人、9人。现在让一部分装卸工跟随轮船移动，而不是在各自的码头等待轮船到来后才开始工作，这样一来，可以使得6个码头所需装卸工的总数减少，则在不影响任务的前提下，所需装卸工的最少人数为(　)人。

A. 48　　　　B. 39　　　　C. 45　　　　D. 31

——2013年陕西省考第82题

【解析】B。极值问题。法一:如果每艘轮船有6人跟随，则4艘需要24人跟随，对应的6个码头分别还需6人、4人、0人、2人、0人、3人，所以共39人。如果每艘船8个人，所需人数一样。故选B。

法二:码头数为6，轮船数为4，则需要装卸工人数最少为所需装卸工最多的4个码头人数之和，即12+10+8+9 =39人。故选B。

6.空瓶换酒

空瓶换酒问题的公式: B÷(A－1) = C。其中，A代表多少个空瓶可以换一瓶酒，B代表有多少个空瓶，C代表通过现有空瓶，最多能置换到多少瓶酒。

【例19】12个啤酒空瓶可以免费换1瓶啤酒，现有101个啤酒空瓶，最多可以免费喝到的啤酒为(　)。

A. 10瓶　　　　B. 9瓶　　　　C. 8瓶　　　　D. 11瓶

——2012年上半年联考－陕西第107题

【解析】B。12个空瓶可以免费换1瓶啤酒，即11个空瓶可以免费喝1瓶净啤酒(不含酒瓶)。101除以11商是9。故选B。

【例20】5个汽水空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶?(　)

A. 129瓶　　　　B. 128瓶　　　　C. 127瓶　　　　D. 126瓶

——2011年河北选调生第45题

【解析】A。设他们至少买汽水x瓶，可换回汽水x÷(5－1)瓶，则有: x+ x÷(5－1) =161，解得x =128. 8，所以，他们至少买129瓶汽水。故选A。

五、其他题型

在数量关系中，极值问题常和其他题型结合，这类综合型的试题值得我们多加关注。

【例21】某工厂有100名工人报名参加了4项专业技能课程中的一项或多项，已知A课程与B课程不能同时报名，如果按照报名参加的课程对工人进行分组，将报名参加的课程完全一样的工人分到同一组中，则人数最多的组最少有多少人?(　)

A. 7　　　　B. 8　　　　C. 9　　　　D. 10

——2014年河南省选调生第42题

【解析】D。极值和组合问题。由于工人可以报名参加1项或多项技能课程，则按照参加的课程数可将工人分成4类情况:只参加1项课程有4种选择，参加2项课程(不同时参加A、B课程)有－1 =5种选择，参加3项课程(不同时参加A、B课程)有－2 =2种选择，参加4项课程的不存在。因此，工人的课程分组有4+5+ 2 =11组。要求人数最多的组最少几人，在总人数既定的前提下，让其他组的人数尽可能得多，且相等。设人数最多的组最少有a人，则其他人数少的组最多有(a－1)人，因此有10×(a－1)+a =100，解得a =10人。故选D。

【例22】一个圆形的草地中央有一个与之同心的圆形花坛，在花坛圆周和草地圆周上各有3个不同的点，安放了洒水的喷头，现用直管将这些喷头连上，要求任意两个喷头都能被一根水管连通，问最少需要几根水管?(一根水管上可以连接多个喷头)(　)

A. 3　　　　B. 4　　　　C. 5　　　　D. 6

E. 7　F. 8　G. 20　H. 30

——2014年陕西省考第132题

【解析】F。极值和几何问题。根据题意，要使得水管的数量尽可能少，那么就应该使一个水管上面连接尽可能多的喷头(如图所示)。由于在花坛、草地周围各有3个喷头，那么最多只能有4个喷头在一根水管上面，还剩下2个喷头，这两个喷头和前4个喷头中的一个喷头可以连在一条水管上，这时共用2根水管;这2个喷头再和之前4个喷头中剩余的3个喷头逐一相连，共需要6根水管。因此，要求任意两个喷头都能被一根水管连通，最少需要8根水管。故选F。