2 非欧几里得几何（“公理式”问题）

希尔伯特是位非常重要的德国数学家，1943年离世。他于1885—1890年开始了数学研究，并于1899年发表了一部非常著名的作品，叫《几何基础》（《Les fondements de la géométrie》）。

他在书的前言宣称：我们习惯称作“点”“线”“面”的，也完全可以叫作“啤酒”“杯子”“桌子”。这些物体的属性完全不依赖于它们的本质，与它们的名称更加无关，而是取决于它们之间所保持的关系。

希尔伯特因此成功地将整套欧几里得几何归并到很少的几个公设中，由此建立了被称作“公理式”的方法。

在他之前，早在19世纪中叶，德国数学家黎曼（Riemann）和俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobatchevski）也曾发展出两种新几何，每一种都与欧几里得的几何不同。这三种非欧几里得几何的区别之一，就在于它们各自用到的一个公理非常不同。

我相信你们对几何知识足够了解：在一个平面上，通过一个点只有一条直线与已知直线平行。多少个世纪以来，数学家们想要验证这一属性却从未成功。因为他们的验证都不得不重新从这一真理出发，尽管它是否是真理还未得到论证。

因此，这是一个“公设”，换言之，无法验证，因而要求对话者接受。

就“什么是公设”的本性问题，再没有比中世纪一个叫伊本·西拿（Avicenna）的哲学家说得更好的。

我想你们知道亚里士多德的无矛盾律？（不知道）不可能不知道！（某学员玩笑地：“忘记了！”现场笑）无矛盾律取决于这样一个事实：如果你否定一个否定，那就等于是一个肯定。

伊本·西拿就说，要是碰上你的对话者不接受这个定律，你是没办法验证给他看的。所以你就只有烤了他的双脚，直到他讨饶承认烤和不烤不是同一件事。也就是说，表面上看最抽象不过的定律背后，有着身体的投入。

所以，理解所谓公设的本性很重要：它是一种本身无所谓真假或成立与否的宣称，但只要你不接受，就玩不下去了。

学员：是不是也就是公理啊？

姚洁（对GLG）：能不能区分一下公设与公理？

GLG：不是这么讲的。

到现在为止，我混淆了公设与公理。实际上，它们之间有个陈述性的区别。公设是我要求你接受的；而公理呢，虽然我肯定，但还要你接受它才成。

相反，我现在要在“公设postulat /公理axiome”与“定理théorème”之间非常清楚地划分出不同。

如果你正确地从一个或几个公理出发，推演到一个定理，这个定理会在公理的保护下，被宣称为成立。

我给你们举一个简单的例子。

在欧几里得几何中，所有三角形的角度总和为180°，这是个成立的定理。如果你接受“从一个点出发，只有一条直线与已知线平行”这个公理或公设，你就不得不接受它。黎曼和罗巴切夫斯基从他们各自的角度出发，却分别做出与欧几里得不同的决定。

黎曼几何：经过直线外一点，没有任何直线与该直线平行；而罗巴切夫斯基几何说，经过直线外一点，会有无穷条直线与已知直线平行。所以，经过一个点，一个是零平行，另一个是有无穷的平行线。最终造成的结果之一：对黎曼来说，一个三角形里，三个角的总和大于180°，而对于罗巴切夫斯基来说，小于180°。

这都成立，重点要选对自己的几何。比方说，在有人居住的这个世界里，欧几里得是最好的。我们在学校学的是这个，建筑师用来造房子的也是这个。相反，研究无穷小的物理学家，通常来讲，他们偏爱罗巴切夫斯基，如果我没弄错的话。而研究天文的，考虑的是宇宙的本质和极大，偏向黎曼。但没有一个人能在绝对的条件下说，哪一个就比别的好，比别的更“成立”。

你们看，这会把所谓“真理”的概念弄得何等的多样化！

所以，这里有个思路上的危险，因为你们很可能会滑入最绝对的“相对主义”中，说：实际上根本就没有最终真理。但这立马就是个矛盾。因为在你宣称“世上没有最终真理”的时候，这个宣称本身正试图成为最终真理。所以，相对主义，也不是个靠得住的思考体系。逻辑上靠不住，伦理上靠不住，我要加一句，政治上也靠不住。所有这些，都将取决于你们对公理/公设的选择。

但有时候，当我们称为“精神分析”的这个长程工作接近尾声时，会认出病人最为关键的幻想。也就是说，是从什么出发，他会认为这个是好的，那个是坏的。没有一个“好的”能对整个人类成立，包括最基本的东西。在加入汉莎同盟的那些波罗的海的沿海城市，阿姆斯特丹、拉埃、鹿特丹，有个格言说：“航行是必需的，活着未必。”要想活着，你就得航行，但没有人是被迫一定要活着的。粗粗地看个大概的话，这句话几乎对整个人类都成立。