3 “数学基础危机”（能指/所指脱离的问题）

好了，现在我们要进入数学史上的一些细节。我估计你们不一定知道，除非有人已经在某些哲学研究中遇到过这段历史：就20世纪西方思想史来说，这是很基础的。

我要讲的，是“数学基础危机”。它围绕着三个名字展开（板书（以下略））:Frege（弗雷格）, Hilbert（希尔伯特）和Russell（罗素）——英国的哲学家和逻辑学家。

在1892年，弗雷格出了本书，叫《算术基础》（《Les fondements de l'arith-métique》）。你们看，那是个以基础为依据的年代，有个《几何基础》，又有这个《算术基础》。两位作者——希尔伯特和弗雷格，他们都是德国人，还有过书信往来。

弗雷格在他的《算术基础》中，试图将算术基础完全变成逻辑学的。几年过去，他很高兴，确信自己已经成功。但到了1902年，他收到一封无名小辈写来的信。一个叫贝尔特朗·罗素的年轻人指出，在他这套理论构建的过程中，某个环节上有个令人无法修正的矛盾。弗雷格回复年轻人说：确实如此，这简直是灾难。整个理论构架就此落水！而绝大多数的数学家依然从这套理论出发，都还在无忧无虑地继续着研究，浑然不知在算术的核心有个严重的问题，已经是肯定的。而算术本身，又属于所有数学的核心——所有的数学，包括最为诡辩派的，事实上都建立在实数的秩序上。

我不可能在这里更深入地讨论这些事情的细节，但我想给大家讲讲希尔伯特的一手“回刺剑术”，是这个动作让他找到了一个非常古怪的解决方法，最终得出一个完全出乎意料的发现。

多年来，希尔伯特一直在做其他方面的研究，但到了1922年，他决定要解决上面所说的理论架构中存在的这个问题，就给他的学生们布置了一个工作流程，要论证数学是有能力论证出它不是矛盾的。——我开始从你们脸上看到，你们在问我，我们要走到哪里去？

我们要往一个非常简单的方向去寻找解决办法，我写在黑板上。加法有个属性，叫“可交换性”（commutativité）：

a+b=b+a

无论次序如何，这么过来也好，那么过去也行，结果相同。

但这里涉及的“a”得是随便什么数字，“b”也是随便什么数字。而“随便什么数字”，就意味着会有无穷的数字。一旦进入无穷，罗素向弗雷格所指出的矛盾就出来了。

希尔伯特的解法是：我们切断它，我们将单纯研究数学公式，不再拿实际数字作参照。——大家还记得前面我们关于能指/所指的讨论吧？在“加法可交换性”这个例子里，“a”或“b”是能指。当我写“a”，这个“a”的所指，可以是随便哪个数字。希尔伯特的建议是：单纯研究这些数学文字，不考虑数字本身。

这样一来，他就做出了一个在他之前从未有人做过的动作：隔离出后来被拉康所冠名的“象征维度”（symbolique）。