VI

我们所说的一切还没有说明偶然性为什么服从规律。不管原因是微不足道的还是相当复杂的，即使我们不足以预见它们在每一个案例中的结果，至少我们可以平均地预见它们的结果，这个事实会发生吗？为了回答这个问题，我们再次比较详细地研究一下已经引用过的几个例子。

我愿以轮盘赌的例子开始。我说过，指针将要停下来的地点取决于我们给予它的初始推力。具有某一值的这个推力的概率是多少？对此我一无所知，但是我不难假定，这个概率可用连续解析函数来表示。于是，推力包含在a和a+ε的概率显然等于推力包含在a+ε和a+2ε之间的概率，倘若ε很小的话。这是所有解析函数的共同性质。函数的微小变化与变量的微小变化成比例。

但是，我们已经假定，推力极其微小的变化足以改变指针最后停留的扇形的颜色。从a到a+ε扇形是红的，从a+ε到a+2ε扇形是黑的；因此，每一个红扇形的概率与下一个黑扇形的概率相同，从而红的总概率等于黑的总概率。

问题的已知件是表示特定初始推力的概率的解析函数。可是，不管这个已知件是什么，该定理依然为真，由于它取决于所有解析函数的共同性质。由此可以最终得出，我们不再需要这个已知件。

我们刚才就轮盘赌的案例所说的一切也适用于小行星的例子。黄道带可以被看做是一个庞大的轮盘，许多小球以按某种定律变化的各种初始冲量在轮盘上动荡不定。由于与前例相同的理由，它们的目前分布是均匀的且与这个定律无关。于是我们看到，当原因上的微小差别足以引起结果上的巨大差别时，现象为什么服从偶然性定律。因此，这些微小差别的概率之所以可以看做是与这些差别本身成比例，正因为这些差别是很小的，以及连续函数的无穷小增量与变量的增量成比例。

举一个完全不同的例子，在这里特别插入了原因的复杂性。设一个打牌人洗一堆扑克牌。每洗一次，他都改变了牌的次序，他可以用各种方式改变它们。为了简化说明，让我们只考虑三张牌。在洗牌前，它们占据的位置分别是123，在洗牌后它们可能占据的位置是

这六个假定中的每一个都是可能的，它们分别具有的概率是

这六个数之和等于1；而这就是我们关于它们所知道的一切；这六个概率自然取决于打牌人的习惯，我们不知道他的习惯。

在第二次洗牌和随后的洗牌中，将在相同的条件下重复这一过程；我的意思是，例如p₄总是表示三张牌在第n次洗牌后和在第n+1次洗牌前占据位置123、而在第n+1次洗牌后占据位置321的概率。不管数n是多少，这依然为真，由于打牌人的习惯和他的洗牌方式仍旧相同。

但是，如果洗牌的次数很多，那么在第一次洗牌前占据位置123的牌，在最后一次洗牌后可能占据位置

这六个假定的概率显然将是相同的，都等于1/6；不管我们不知道的数p₁……p₆是什么，这都为真。洗牌的极多次数，也就是说原因的复杂性，却产生了均匀性。

如果多于三张牌，这也可以不加改变地应用，不过即便用三张牌，证明也相当复杂；我们只针对两张牌给出证明也就足够了。这样一来，我们只有两种可能性12，21，其概率是p₁和p₂=1-p₁。

设n是洗牌的次数，并且假定，若牌最后按原来的次序则我赢，若牌最后次序颠倒则我输。于是，我的数学期望将是（p₁-p₂）ⁿ。

p₁-p₂之差肯定小于1；这样一来，如果n很大，我的数学期望将是零；为了意识到游戏是公平的，我不需要知道p₁和p₂。

如果数p₁和p₂之一等于1，而另一个等于零，那就总是有例外。这时，它就不能适用了，因为我们的初始假定太简单了。

我们刚才所看到的东西不仅适用于牌的混合，而且也适用于一切混合，例如粉尘的混合物和液体的混合物；即使对于气体运动论中的气体分子的混合物也同样适用。

回到这个理论上来吧，设在某一时刻气体分子不能相互碰撞，但由于它们冲撞盛装气体的瓶子的内侧，它们却可以偏斜。如果瓶子的形状足够复杂，分子的分布和速度的分布不要太长时间就变均匀了。但是，如果瓶子是球形的或者它具有立方体的形状，情况就不是如此了。为什么？因为在第一种情况下，球心距任何轨道的距离将总是不变的；在第二种情况下，每一个轨道与立方体面的夹角的绝对值也是不变的。

这样，我们看到，所谓太简单的条件意味着什么；它们是保持某些东西、容许不变量依然存在的条件。是该问题的微分方程太简单，以致我们不能应用偶然性定律吗？这个问题起初看来似乎缺乏精确的意义；现在我们知道，它意味着什么。如果它们保持某些东西，如果它们容许一致积分，它们就太简单。如果初始条件中的某些东西依然不变，那么很清楚，最后的解就不再能够与初始状态无关。

我们最终达到了误差理论。我们不知道偶然误差由什么引起，而且正因为我们不知道，我们才意识到它们服从高斯定律。悖论就是这样的。说明几乎与前例中的相同。我们只需要知道一件事：误差是否很多，误差是否很小，每一种误差是否既有正又有负。每一种误差的概率曲线是什么？我们不知道；我们只是假定它是对称的。接着我们证明，合成误差将遵从高斯定律，这个合成定律与我们不知道的特定定律无关。在这里，结果的简单性恰恰又源于已知件的复杂性。