二、标准修订的主要内容

教育部于2011年12月公布《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下称《标准）》。以下介绍《标准》在文本表述、具体内容和实施建议等方面做的修改。

（一）完善标准的体例与结构

本次修订，在保持《标准（实验稿）》，基本体例不变的基础上，经充分讨论，在结构上有以下调整。

1.重新撰写“前言”

在“前言”部分除了修改了对数学的意义与价值、数学教育的功能、数学课程的基本理念以及数学课程设计思路的表述外，增加了“数学课程的性质”，指出“义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性”，“义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础”，进一步明确了义务教育阶段数学课程在提高公民素质中的重要作用。

2.整合三个学段的“实施建议”

为了避免行文的重复、进一步突出义务教育阶段数学教育的完整性，《标准》将原来分三个学段撰写的实施建议进行了整合，三个学段统一撰写了教学建议、评价建议和教材编写建议，并增加了课程资源开发与利用建议。

3.将“行为动词”和“案例”等统一放入附录

《标准》增加课程目标中的有关“行为动词”的解释，这些行为动词分为两类：一类是描述结果目标的行为动词，包括“了解、理解、掌握、运用”等术语；另一类是描述过程目标的行为动词，包括“经历、体验、探索”等术语。将这些行为动词和相关的同义词的解释统一列入附录。同时课程内容和实施建议中的“案例”也统一列入附录中，分别成为附录1和附录2。与《标准（实验稿）》相比，案例增加了详细的说明和解答，使案例能够更好地发挥对课程内容的含义的阐释，以及对教师实施过程的指导。对案例进行统一编号，便于查找和使用。这样大大减少了《标准》正文的篇幅。

（二）梳理数学教育基本理念与目标

《标准》梳理了有关数学教育基本理念和目标的表述，在原有的框架基础上，对一些内容的表述做了修订，使其更加完善合理。

1.关于数学的意义和数学教育的作用

《标准》重新阐述了数学的意义与性质，进一步明确了数学教育的作用和义务教育阶段数学课程的特征。

数学的意义表述为：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。”这里阐述了数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学的发展与人类社会的发展息息相关，数学在社会生产和日常生活中广泛应用。同时，强调了随着数学与计算机技术的结合，数学在许多方面直接为社会创造价值。数学在社会发展和人们的生活中起着越来越重要的作用。

关于数学教育的作用表述为：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。”通过数学教育提高公民的数学素养，使学生理解和运用数学知识技能解决问题。同时，更应该发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的作用。数学作为一门抽象性、严谨性和广泛应用性的学科，在这些方面将起着不可替代的作用。

2.关于数学课程的“基本理念”

《标准（实验稿）》提出的基本理念总体上反映了基础教育改革的方向，因此，这次修订基本保持了基本理念的结构，对某些表述进行了修改。

《标准》将原来“人人学有价值的数学，人人获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”，改为“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。获得良好的数学教育具有广泛而深刻的含义，是对所有学生在数学学习方面的目标要求，也是对数学教育者提出的要求。面对每一个人的数学教育既是一个基本的要求，也是必需的要求。义务教育的基本功能就是要所有适龄儿童接受良好的教育，为成为合格的公民做准备。良好的数学教育正是从这个意义上提出的要求。同时，针对学生发展的差异性，又应当使不同的学生得到不同的发展，在数学教育的目标和内容上因材施教，满足不同学生的发展需要。

将原来的“数学学习”和“数学教学”两条合并成一条“教学活动”，整体上阐述数学教学活动的特征，并就数学教学、学生学习、教师教学做了进一步阐述“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”强调了学生是数学学习的主体，教学活动是师生共同参与的过程。

3.关于数学课程的若干核心概念

本次修订对《标准（实验稿）》中在课程设计中提出的六个核心概念“数感、符号感、空间观、统计观念、应用意识和推理能力”做了调整。共提出10个数学课程与教学中应当注重发展的核心概念，包括数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想，以及应用意识和创新意识。事实上，把这些词称为“概念”并不确切，因为这些词表达的并不是客观存在，甚至很难清晰表达其内涵，《标准》也未对它们作出统一的表达。之所以用这些词，希望表达的是认识一类数学概念的思维模式，而正确把握这些思维模式，对理解相关的数学概念非常重要。这些核心概念的提出，有助于教师更好地把握课程目标、深刻理解课程内容，同时对于数学课程内容的选择和教学方法的改革也有重要的指导意义。

4.关于数学课程目标

在几年实验研究的基础上，对课程目标进行了完善，在具体表述上做了修改，更加凸显了课程改革倡导的使学生经历数学学习过程、学会数学思考等。课程目标的设计，凸显了以下特点。

（1）课程目标的总体设计仍然保持总体目标和学段目标的结构

目标的设计以学生的全面发展和提高数学素养为宗旨，注重过程性目标和结果性目标相结合。具体分为：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面。并强调“总目标的这四个方面，不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体”。“这些目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义”。课程内容的选择中，教学方法的设计，教学评价的组织等，都应遵循课程的总体目标，以实现总体目标为指向。“数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现”。

（2）明确提出“四基”

《标准》明确提出，通过义务教育阶段的数学学习，学生能“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验”。基础知识和基本技能是我国数学教育中历来的传统优势，在数学课程改革中应当保持并赋予新意。基本思想和基本活动经验是数学课程教学中应当特别重视的，是数学素养的重要标志。不仅是学生当前学习和发展的需要，更是学生未来学习和终身发展所必须的。“四基”可以看作是对学生进行良好数学教育的集中体现，关系到学生当前学习和长远发展，有利于培养学生的创新意识和创造性思维。在实施新的课程标准时，更应当重视对基本思想和基本活动经验的研究和落实。

（3）明确提出“发现问题、提出问题”能力的培养

解决问题是数学教育的核心，培养学生解决问题的能力始终是数学教育应当重视的重要议题。《标准》将原来总目标中四个方面的“解决问题”改为“问题解决”，更加重视学生的问题意识以及解决问题的综合能力的培养，强调学生在具体的情境中发现问题、提出问题，提高分析问题和解决问题的能力。分析和解决问题固然重要，而发现和提出问题更有利于培养学生的创新意识，对于整体上提高学生数学素养，特别是社会适应能力更为重要。

此外，在学段目标和课程内容的表述上，尽量使用了描述结果目标和过程目标的行为动词。

（三）适当调整各学段课程内容

义务教育阶段数学课程内容分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”和“综合与实践”四个方面，对每一部分内部的结构和具体内容做了适当调整。课程内容中的每一条都尽量使用了规定的结果性行为动词或过程性行为动词，作为这一内容的具体要求。

1.课程内容结构上的变化

“数与代数”部分在内容结构上没有变化，第一学段是“数的认识、数的运算、常见的量、探索规律”，第二学段是“数的认识、数的运算、式与方程、正比例和反比例、探索规律”。

“图形与几何”部分第一、二学段，内容结构没有变化。第三学段，将原来的四个部分调整为三个部分，即由原来的“图形的认识”“图形与变换”“图形与坐标”“图形与证明”，修改为三个部分，即“图形的性质”“图形的变化”“图形与坐标”。这三部分中的“图形的性质”基本上是整合了《标准》中的第一和第四部分而成，而其他两个部分与原来的两部分对应。

“统计与概率”内容结构做了较大调整，使三个学段内容学习的层次性更加明确。强调培养数据分析观念，与学生的现实生活联系得更加紧密。第一学段内容减少，主要是学会分类、会进行简单的数据搜集与整理；第二学段分为“简单数据统计过程”和“随机现象发生的可能性”两部分；第三学段分为“抽样与数据分析”和“事件的概率”两部分。这样调整的原因在于，在实验过程中原来第一学段对于统计与概率内容的要求，按照学生现有的理解水平，学习有一定困难，教学设计与实施有很大难度。同时，在内容上与后面两个学段有很大的重复。调整后使统计与概率内容在三个学段的要求上有明显区分，在难度上也表现一定的梯度。

“综合与实践”内容做了较大修改。进一步明确了“综合与实践”的内涵和要求，明确“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。“综合与实践”的教学目标是帮助学生积累数学活动经验，培养学生应用意识和创新意识。

2.第一学段具体内容的修改

第一学段内容总体上修改不大，增删内容大致相当，数与代数内容略有增加，统计与概率内容有明显减少。

（1）统计与概率等内容适当降低难度

第一学段统计与概率领域内容大幅减少，由原来的11条具体要求减少为现在的3条。全部删除了有关概率内容的“不确定现象”的3条，其中部分内容移到第二学段。实践表明，第一学段学生理解不确定现象有难度，不容易理解事件发生的可能性。这一学段学生主要应学习和掌握确定的量，开始理解和掌握自然数、分数和小数。因此，将不确定现象的描述后移。对于统计内容也降低了难度，平均数、条形统计图等内容也移到第二学段学习。

此外，“能用自选单位估计和测量图形的面积”认识“千米²、公顷”“能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形”“会看简单的路线图”等也因为难度的原因，被删除或移入第二学段。

（2）增加或进一步明确一些具体内容

根据学生学习的需要，以及实验和调研的反馈意见，第一学段增加或调整了一些内容。

增加的内容包括“知道用算盘可以表示多位数”，这一要求考虑中华文化的因素，以及许多专家学者和一线教师对珠算在小学数学教学中作用问题所提出的建议：“能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小。”使学生能较准确地把握有关小数的问题，也为后续的学习做准备，但这一学段只要求进行同分母的小数比较。

调整的内容如下。

估算的要求改为“能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”。使估算的要求更加具体、明确。有助于清楚地认识和理解估算的价值与意义。强调了“选择适当的单位进行简单估算”，明确估算的重点一是要有具体的情境，二是在一个确定的情境中，根据实际需要选择适当的单位进行估算。《标准》的例6做了具体说明。

“能口算一位数乘除两位数”从第二学段移到第一学段。在第一学段数的认识和相关运算的基础上，学生完全可以掌握这一内容。原来在第二学段出现明显滞后。

“认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步）”，在第一学段增加了这一条，与第二学段形成一个连续的、渐进的对于混合运算的要求。在第一学段认识小括号，在第二学段认识中括号。“结合实例认识面积，体会并认识面积单位平方厘米、平方分米、平方米，能进行简单的单位换算”。增加了平方分米的认识，将平方千米、公顷的认识移到第二学段，并降低了要求。

3.第二学段具体内容的修改

第二学段虽然课程内容总的数量没有变化，但具体的内容做了一些重要的调整。

（1）统计与概率等内容适当降低难度

第二学段统计与概率内容，删除了中数、中位数内容和“能设计统计活动，检验某些预测，初步体会数据可能产生误导”。还有一些在表述方式和具体要求上做了一些调整。一是强调了在搜集数据中运用适当的方法。“会根据实际问题设计简单的调查表，能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据”。学生可以用自己喜欢的方法搜集数据，在教学中应当引导学生用比较科学合理的方法收集有效的数据。在经历收集、整理数据的过程中，逐步使学生了解数据的重要性。二是调整了对可能性的要求。表述为：“1.在具体情境中，通过实例感受简单的随机现象；能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。2.通过实验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，并和同学交流。”提出了更为具体的要求。对于可能性要求“列出简单随机现象中所有可能发生的结果”，与原来的“体验事件发生的可能性以及游戏规则的公平性，会求一些简单事件发生的可能性；能设计一个方案，符合指定的要求；对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己的理由”的要求相比，大大降低了要求。同时使这部分内容更具可操作性，符合小学生学习的特点。

删除“了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点”。这个内容对于小学生来说较为抽象，与生活经验的联系也不很紧密，要求学生了解意义不大，而“了解两点确定一条直线”放在第三学段作为进行演绎证明的基本事实之一。此外，小数、分数、百分数重点强调了理解他们的意义，以及会进行小数、分数和百分数的转化。在这个转化的过程中，学生必然需要了解它们之间的关系，所以不再要求探索小数、分数和百分数之间的关系。

（2）增加或调整了部分内容

增加或调整的内容主要包括如下几方面。

增加“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量，路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题”。学生对一些常见数量关系的了解，特别是运用这些数量关系解决问题，是小学阶段问题解决的核心。而“总价=单价×数量，路程=速度×时间”是小学阶段最常用的数量关系，绝大多数实际问题都可以归结为这两类数量关系。标准中增加这一要求，为小学数学课程与教学中的问题解决提供了一个重要基础。

增加“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示”。了解数量关系是学习字母表示数的重点目的。使学生在实际情境中了解数量关系，也为学习简易方程做准备。

增加“了解圆的周长与直径的比为定值”，强调学生在探索周长与直径比的过程中认识圆周率。

4.第三学段具体内容的修改

第三学段内容的调整主要是从学生发展的角度出发，重点考虑与前后学段的知识内容的衔接，与学生的生活经验和未来的生活实践的联系，学生对知识内容的接受能力和水平对学科本质以及核心思想的体现。

（1）删减的主要内容及其分析

在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等部分中，删除了一些内容，主要包括：能对含有较大数字的信息做出合理的解释与推断；了解有效数字的概念；能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简单的问题；与梯形有关的内容；探索并了解圆与圆的位置关系；关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏等；关于镜面对称的要求；极差、频数折线图等内容。

删减的内容中，像“能对含有较大数字的信息做出合理的解释与推断”等内容已经在第一、二学段学习，而“了解有效数字的概念”这样的内容及要求相对来说脱离初中学生的经验和生活需要。“能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简单的问题”等学生学习有一定的困难，放到高中学习更为合适。对于梯形以及等腰梯形这样的传统内容，在第二学段已经了解了它们的概念及其基本性质，对这些图形的进一步的认识则完全可以通过转化为三角形和平行四边形等来完成。

（2）适当增加的内容及其分析

《标准》第三学段增加的内容包括必学内容和选学内容。选修内容的增设主要是从课程改革的理念出发，为学生的个性发展提供机会和可能。

增加的必学内容主要有：最简二次根式和最简分式的概念；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义；了解平行于同一条直线的两条直线平行；会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类；了解并证明圆内接四边形的对角互补；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系；尺规作图：过一点作已知直线的垂线，已知一直角边和斜边作直角三角形，作三角形的外接圆、内切圆，作圆的内接正方形和正六边形；能用计算器处理较为复杂的数据；理解平均数的意义，能计算中位数、众数。

增加的这些内容主要是对《标准（实验稿）》中相关内容的补充，或者是对原有要求的进一步明确，例如，“能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”，“会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义，了解平行于同一条直线的两条直线平行，会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类”等等，这些内容有助于学生更好地把握初中的知识，对今后的学习也有很大的基础性作用。有的内容则是从前面的学段移到第三学段的，如“理解平均数的意义，能计算中位数、众数”“掌握等式的基本性质”等。

以“﹡”标注的选学内容主要有：能解简单的三元一次方程组；知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数；了解一元二次方程的根与系数的关系；了解平行线性质定理的证明；了解相似三角形判定定理的证明：探索并证明了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧；探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。

增加的选学内容中与图形的证明有关的要求较多，这些命题的探索与掌握在《标准》中都是必学的内容（在《标准（实验稿）》中也有同样的要求），增加了这些初等几何中最基本的也是很重要的命题的证明作为选学内容，是希望给一些有能力并喜欢几何证明的学生更多的机会学习和掌握证明的方法、体会证明的意义以及命题间的逻辑关联等。

另外还有一部分是涉及作为证明基础的“基本事实”（即通常称为“公理”）的命题部分的增加或变化。

（3）在要求上有变化的内容

标准中还有一些是在知识内容的具体要求程度上的变化或要求的精细化，如原来要求的是“了解”，现在则是“理解”，等等。如，“理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算”；“探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质”；“在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系”；“在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系”等等。

以上概要介绍了《标准》的主要变化。这些修改试图使数学课程标准更完善更适用，为进一步推进和深化基础教育课程改革创造条件。