二、在数学教育中体现数学基本思想
任何一件事情，一旦走到了极致就会出现异化，这便是孔子所说的“过犹不及”。数学的严谨性也是如此。在数学教育的过程中，如果过分强调数学的严谨性，数学的概念就会被表示成为一堆符号，数学的推理就会被表现为一种形式，正如罗素在《西方哲学史》中所说的那样注10：
我应当同意柏拉图的说法，纯粹数学并不是从知觉得来的。纯粹数学包含的都是类似“人是人”这样的同义反复，只不过是更为复杂罢了。要知道，判断一个数学命题是否正确，我们并不需要研究世界，而只需要研究符号的意义；而符号，当我们省略了定义之后，只不过是“或者”“不是”“一切”和“某些”之类的话语，并不指向现实世界中的任何事物。
罗素是哲学家，是数学逻辑主义学派的代表。在罗素的眼中，数学的命题或者数学的结论，就是用一些表示关系的逻辑术语把表示概念的名词连接在一起。如果不顾及概念的实际含义，那么，数学最终就如罗素评述的那样：
数学的真理，正如柏拉图所说，与知觉无关，这是一种非常奇特的真理，仅仅涉及符号。
罗素把数学的逻辑推到了极致，因此，不能也不应当用罗素的观点实施数学教育。虽然在现代数学中，结论的最终表述仅仅涉及符号和逻辑术语，平淡乏味，但在事实上，大多数数学结论的内涵是丰富多彩的，结论的形成过程是生机勃勃的。比如，在数量与数量关系的研究中，最具创造力的数学工具微积分的产生与发展；在图形与图形关系的研究中，最具想象力的数学表达黎曼几何的产生与发展。所以，在数学教育的过程中，不能过分沉迷于符号和逻辑术语，过分拘泥于数学的严谨性。完全基于符号化、形式化和公理化的数学教学，必然会掩盖数学命题的本质，淡化数学思维的活力，进而忘却了人的原本直觉。一个好的数学教育，不能让学生仅仅在形式上记住数学概念、在逻辑上理解数学道理、在技巧上会解数学习题。关于这一点，柯朗在《什么是数学》的序言中有过明确评述注11：
今天，数学教育的传统地位陷入了严重的危机之中，而且遗憾的是，数学工作者要对此负一定的责任。数学教学有时竟变成空洞的解题训练。这种训练虽然可以提高形式推导的能力，但不能导致真正的理解与深入的独立思考。
在这里，柯朗强调了真正的理解与深入的独立思考。事实上，过分沉迷于符号和逻辑术语，不仅妨碍了真正的理解与深入的独立思考，也不可能获取真正的知识，正如爱因斯坦所说注12：
纯粹的逻辑思维不能给我们任何关于经验世界的知识；一切关于实在的知识，都是从经验开始，又终结于经验。用纯粹逻辑方法得到的所有命题，对于实在来说是完全空洞的。由于伽利略看到了这一点，尤其是由于他向科学界谆谆不倦地教导这一点，他才成为近代物理学之父，事实上，也成为整个近代科学之父。
那么，什么样的数学教育才有利于真正理解、有利于独立思考、有利于获取真正的知识呢？这就是突出数学基本思想的数学教育，其理由至少体现在数学内部和数学外部两个方面。
体现在数学教育内部。数学教育不应当让教师和学生都沉迷于符号的世界：概念靠记忆，计算靠程式，证明靠形式。为了改变这种现状，一个好的数学教学，教师需要理解数学的本质，创设出合适的教学情境，让学生在情境中理解数学概念和运算法则，感悟数学命题的构建过程，感悟问题的本原和数学表达的意义。为了说明这一点，下面引用一段爱因斯坦的话，这段话来源于1921年1月27日他在普鲁士科学院所作的报告，那是在相对论刚被提出不久的时候注13：
数学既然是一种同经验无关的人类思维的产物，它怎么能够这样美妙地适合实在客体呢？那么，是不是不要经验而只靠思维，人类的理性就能够推测到实在事物的性质呢？
照我的见解,问题的答案扼要说来是：只要数学的命题是涉及实在的,它们就是不可靠的：只要它们是可靠的，它们就不涉及实在。我觉得，只有通过那个在数学中叫作“公理学”的趋向，这种情况的完全明晰性才成为公共财产。公理学所取得的进步，在于把逻辑形式同它的客观的、或者直觉的内容截然划分开来；依照公理学，只有逻辑形式才构成数学的题材，而不涉及直觉的、或者别的与逻辑形式有关的内容。
……
另一方面也是确定无疑的，一般说来，数学，特别是几何学，它之所以存在，是由于需要了解实在客体行为的某些方面。……而仅有公理学的几何概念体系，显然不能对实在客体的行为做出任何断言。为了能够做出这种断言，几何学必须去掉单纯的逻辑形式的特征，应当把经验的实在客体同公理学的几何概念的空架子对应起来。
由此可见，虽然为了数学的严谨性，现代数学逐渐走向了符号化、形式化和公理化，但数学的教学过程却应当反其道而行之：虽然概念的表达是符号的，但对概念的认识应当是有具体背景的；虽然证明的过程是形式的，但对证明的理解应当是直观的；虽然逻辑的基础是基于公理的，但思维的过程应当是归纳的。为此，在数学教育的过程中，把握数学基本思想是极为重要的，因为无论是情境的创设，还是问题的提出、思维的引导，都应当源于数学的本质，这个本质就是数学基本思想。
体现在数学教育外部。基础教育阶段的数学教育必须重视这样一个基本事实，就是学生中的大多数，将来所从事的工作很可能不需要研究数学，因此，这些学生从事工作后，会把辛辛苦苦记住的那些数学概念、证明方法以及解题技能逐渐忘掉。这个现实，给基础教育阶段的数学教育提出了一个非常本质的问题：是否应当在知识和技能的基础上，还能让学生感悟一些东西、积累一些经验，让学生终生受益呢？正是为了实现这个目的，我在《义务教育数学课程标准（2011年版）解读》的绪论中写道注14：
与教学大纲相比，课程标准更加重视学生能力的培养和素养的提高。《标准（2011年版）》的培养目标在原有“双基”的基础上，进一步明确提出了“基本思想”和“基本活动经验”的要求，这样就把“双基”扩展为“四基”。希望学生在义务教育阶段的数学学习中，除了获得必要的数学知识和技能之外，还能感悟数学的基本思想，积累数学思维活动和实践活动的经验。
思想的感悟和经验的积累是一种隐性的东西，但恰恰就是这种隐性的东西在很大程度上影响人的思想方法，因此，对学生，特别是对那些未来不从事数学工作的学生的重要性是不言而喻的，这是学生数学素养的集中体现，也是“育人为本”教育理念在数学学科的具体体现。
……
显然，思想的感悟和经验的积累仅仅依赖教师的讲授是不行的，更主要的是依赖学生亲自参与其中的数学活动，依赖学生的独立思考，这是一种过程的教育。
依据上面的说法，对于数学教育，“过程教育”所说的“过程”，不是数学知识产生的过程，也不是数学家所描述的数学思维过程，而是学生自己理解数学的思维过程。一个人会想问题，不是学习的结果，而是经验的积累，是学生在独立思考的过程中逐渐形成的思维习惯。因此在基础教育阶段，一个好的数学教育，应当更多地倾向于培养学生数学思维的习惯，像我们在前面谈到过的那样：会在错综复杂的事物中把握本质，进而抽象能力强；会在杂乱无章的事物中理清头绪，进而推理能力强；会在千头万绪的事物中发现规律，进而建模能力强。这些，恰恰是数学基本思想的核心。
下面，我们将在这本书中，结合数学知识产生与发展的过程，阐述其中所蕴含的数学基本思想。