数学的推理^注15

我们在本书的第一辑和第二辑讨论了数学的抽象，在这一辑和下一辑将讨论数学的推理。很显然，抽象和推理都是数学的显著特征，人们一谈起数学首先想到的就是这两个特征。所以，与这两个特征关联的思想也就成为了数学的基本思想。人们通过抽象，从日常生活和生产实践中得到数学所要研究的基本概念和法则；人们通过推理，在基本概念和法则的基础上得到数学的公式和命题。简而言之，人们通过“抽象”把外部世界引入数学，通过“推理”促进了数学本身的发展。当然，我们不可能把这两个功能截然分开，因为抽象必然要借助推理的方法，而推理又必然要借助抽象的思维。

回忆第二辑最后一讲的讨论，人们通过抽象得到的数学的基本概念包括对象概念和关系概念。对象概念是指：数学所要研究的那些东西，比如自然数、实数、点、线、面等等；关系概念是指：表示对象之间关系的逻辑术语，这些术语具有因果、转折、递进、对比、补充、选择等功能，比如存在、相等、属于、介于、所以等等。于是，我们可以得到数学流程的最基本形态：借助推理把关系概念应用于对象概念，得到数学基本命题。

推理是一种思维过程，在现代社会，我们所谈及的思维过程往往都是很复杂的，让人望而生畏。即便如此，我们仍然希望把数学推理的思维过程条理化，我想，这种条理化对大学生和年轻的数学教师更好地理解数学的本质是有益处的，特别是对工作在基础教育第一线的数学教师是有益处的。关于思维过程，或者说，关于推理过程的有关问题，我们先回顾一下笛卡尔的建议，他在《探求真理的指导原则》的第六个原则中说^注16：

要从错综复杂的事物中区别出最简单事物，然后进行有秩序的研究。这就要求我们在那些已经通过演绎得到真理的推理过程中，观察哪一个事物是最简单项，以及观察这个项与其他项之间关系的远近，或者相等。

笛卡尔非常推崇这个原则，认为这个原则是他这篇论文中最有用的，是揭示科学奥秘的基本方法^注17。事实上，笛卡尔所提倡的方法的实质就是，把要进行推理的事物排成一个系列，然后找出系列中的最简单项进行逐项判断。

对数学而言，笛卡尔所说的系列就是由条件出发最后得到结论的证明过程。在大多数的情况下，这个证明过程是由一些基本推理首尾连接而形成的。所谓基本推理是指由一个命题、或者几个命题出发，得到另一个命题的思维路径，其中所谓的命题是指一种可以肯定或者否定的语句。这样，我们就可以把基本推理理解为：由一个或者几个“是非判断”到另一个“是非判断”的思维路径。这样，基本推理就是数学证明过程中的基本元素，这个基本元素可能就是笛卡尔所说的最简单项。我们用下面的图描述一个证明过程，可以看到，证明过程往往不是线性的，而是多元的。

从条件到结果的证明过程是由若干个基本推理所组成的

为了保证整个证明过程的正确性首先必须保证基本推理的正确性，也就是通常所说的，我们必须保证基本推理符合逻辑^注18，因为逻辑学是一门关于区分正确推理与不正确推理的原理和方法的学问^注19。可以设想，被现代人们广泛认同的逻辑准则，最初只是一些符合常理的推理方法，经过日常生活和生产实践的长期检验，通过归纳整理逐渐形成了准则。因此，我们在这一辑中所述说的基本推理大多数是一些已经成型了的、符合逻辑准则的推理模式。在科学技术如此发达的今天，要创造出新的、被人们广泛认可的思维模式是一件非常困难的事情。

一般来说，形成推理模式以后有两个好处和一个坏处。两个好处是：便于使用和便于交流。所谓便于使用，是因为形成模式的东西是经过检验的，使用时不需要重新考虑推理的合理性；所谓便于交流，是因为一个思维过程一旦形成模式就规范了，甚至可以形成专门的术语和符号，这便于述说和理解。一个坏处是：限制发展。一个东西一旦形成模式就难以突破，在一般情况下，人们还是习惯于因循守旧，不到不得不作为的程度，人们是不会轻易打破传统的，因为传统凝聚了祖先对生存环境的适应，就像我们在第二辑最后一讲所叙述的那样。

对于数学，本质上有两种推理模式，一种是演绎推理，一种是归纳推理。事实上，这两种推理模式不仅仅在数学，在自然科学，甚至在社会科学，以及人们的日常生活中都是最基本的，正如爱因斯坦曾经说过的^注20：

西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里得几何学中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。在我看来，中国的贤哲没有走上这两步，那是用不着惊奇的。令人惊奇的倒是这些发现（在中国）全都做出来了。

爱因斯坦所说的两个伟大成就，前者指的是演绎推理，后者指的是归纳推理。从上文中可以看到，爱因斯坦对于中国的了解是不够的，从另一个角度也说明了，中国的学者们没有很好地归纳整理古代贤者们的思想脉络，使得西方的学者们不能很好地把握。我确信，中国古代如此灿烂的文化是不可能离开推理的，当然，中国古代的推理模式很可能与上面所说的两种推理模式有所不同，我们将在这一辑的附录中详细地讨论这个问题。关于爱因斯坦所说的那两个伟大成就，美籍华人科学家杨振宁说得更为明确，他在《我的生平》中说^注21：

我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎能力，我在美国学到了归纳能力。

这里的演绎能力和归纳能力分别是指使用演绎推理能力和使用归纳推理的能力。

现在，简单分析上述两种推理模式在数学推理中的功能。回忆我们在第二辑最后一讲的总结：人们往往是通过直观来预测数学的结果，然后通过证明来验证数学的结果，其中直观所借助的推理模式主要是归纳推理，证明所借助的推理模式主要是演绎推理，这样，就可以用非常直白的语言来述说数学结果的推理的过程：从条件出发，借助归纳推理“预测”数学结果，借助演绎推理“验证”数学结果，当然在验证的过程中需要适当地调整“给定的条件”和“预测的结果”。我再次强调，上面的述说是针对一般情况而言的，我们不能排除有特殊情况的出现。

因此，这两种推理模式都是非常重要的，都应当在数学教育中得到充分的重视。但是，在我们现行的数学教学中，需要论证的结果往往都是书本、或者教师事先给定的，并且是一丝不差地给定的^注22，因此学生们的工作只是借助演绎推理来验证这些事先给定结果的正确性。可以看到，这样的数学教学是不全面的，这样的数学教育没有培养学生通过条件预测结果的能力，也没有培养学生根据结果推测原因的能力，而“预测结果”的能力和“推测原因”的能力恰恰是创新能力的基础，是不能忽视的。为此，我们必须有意识地设计一些数学的教学过程，有意识地培养学生的这两种能力。从本质上说，预测结果和推测原因这两种能力所依赖的思维方法是归纳推理，而不是演绎推理。

我们在这一辑讨论演绎推理，在下一辑讨论归纳推理。虽然从逻辑层面上看，似乎应当先讨论发现结果所需要的归纳推理，然后再讨论论证结果所需要的演绎推理。但是，作为一种推理形式，更便于表述的是演绎推理，我想，这也是为什么演绎推理的模式要比归纳推理的模式更早地被总结出来的原因。对于这两种推理模式的讨论，我们都将先讨论具体的推理方法，在对具体的方法有所了解的基础上，再回过头来分析推理过程中所涉及的重要概念，以及这些概念的内涵与外延。也就是说，我们先建立推理方法的直观基础，然后再尝试地分析推理方法本身的合理性。

我们不准备讨论推理方法中的哲学问题，比如命题判断的标准是如何存在的，以及命题判断的路径是不是先验的，等等诸如此类的问题。因为这些问题与我们曾经用很大的篇幅讨论过的“抽象了的东西是如何存在的”这个命题是相似的，我们在其中可以找到问题的答案。数学不是实验科学，也不是经验科学，但是，数学概念的形成依赖于经验，数学推理的过程依赖于思维。虽然思维本身是无形的，但是，正如恩格斯在《自然辩证法》中所谈到的^注23：

我们的主观的思维和客观的世界服从于同样的规律，因而两者在自己的结果中不能相互矛盾，而必须彼此一致，这个事实绝对地统治着我们的整个理论思维，它是我们的理论思维的不自觉的和无条件的前提。

我们生活在地球上，我们是“这个”世界的产物，因此，正确的思维就是指那些能够合同于“这个”世界的思维，能够合同于“这个”世界已经存在了的规律的思维。因此，这本书的目的就是分析：在数学的论证过程中，分析问题的思维应当如何合同于“这个”世界已经存在了的规律，就像恩格斯所说的那样，不要使思维过程与客观规律相矛盾。

为了讨论问题的方便，我们初步定义数学中的演绎推理为：按照某些规定了的法则所进行的、前提与结论之间有必然联系的推理。因为数学的结论大体上可以分为命题结论和运算结论，那么针对数学的演绎推理而言，大体就可以分成两个部分：命题推理和运算推理。