模型是沟通数学与外部世界的桥梁^注29

我们在这部书的前言中曾经说过，所谓的数学思想是指数学产生和发展过程中所必须依赖的那些基本思想。据此，我们可以认为有三种最为基本的数学思想：抽象、推理和模型。不言而喻，这些基本思想，也是学习过数学的人所表现出来的最为显著的思维特征，正像人们通常所说的那样，学习过数学的人抽象能力要强一些，学习过数学的人推理能力要强一些，学习过数学的人基于模式的思维能力要强一些，等等。我们已经用了很大的篇幅（分别用两辑）讨论了数学的抽象和数学的推理，在这一辑，我们将讨论数学的模型。为了把问题讨论得更加清晰，先简要地回顾一下已经讨论过的东西。

通过抽象，人们把日常生活和生产实践中遇到的数量以及数量关系，图形以及图形关系形成数学的基本概念，从而把现实生活中的一些与数量和图形有关的东西引入数学的内部。这些基本概念包括：表述研究对象的定义，描述研究对象之间关系的术语，刻画研究对象之间运算的方法。显然，这种抽象是一种从感性具体上升到理性具体的思维过程，针对数学而言，抽象的过程并非到此终结，这个程度的抽象只能称为第一次抽象，我们可以称这种形式的抽象为概念抽象。在概念抽象的基础上，人们还能凭借想象和类比进行第二次抽象，进而得到那些并非直接来源于现实世界的数学概念和运算方法，比如实数的概念和高维空间的概念，比如极限的运算和矩阵运算。可以看到，第二次抽象与第一次抽象的出发点是不同的，第二次抽象是从此理性具体扩充到彼理性具体的思维过程，其特征是符号表达，为此，我们可以称这种形式的抽象为符号抽象。可以看到，把两次抽象分别称之为概念抽象和符号抽象针对的是抽象的表现形态，如果针对抽象的思维形态，我们也可以把第一次抽象称之为感性抽象，把第二次抽象称之为理性抽象。无论如何，从数学的发展过程中可以看到，这两种不同形式的抽象是存在的，在这个意义上，数学并非仅仅研究那些直接来源于现实世界的东西。

通过推理，人们能够理解数学研究对象之间的逻辑关系，并且可以用抽象了的术语和符号清晰地表达这种关系，形成数学的各种命题、定理和运算法则。随着数学研究的不断深入，根据研究问题的不同，数学逐渐形成许多分支，甚至形成各种流派。虽然如此，因为数学研究问题的出发点是一致的，逻辑推理规则是一致的，因此，至少到现在为止的研究结果表明，数学的命题和运算在整体上是一致的，也就是说，数学的各个分支所研究的问题似乎是风马牛不相及，但是，数学各个分支得到的结果之间却是不悖的，是相互协调一致的。为此，人们为数学的这种整体一致性感到惊叹：数学似乎蕴含着类似真理那样的合理性。

数学推理是一种逻辑推理，因而属于逻辑思维的范畴，这与形象思维和辩证思维是有区别的。所谓推理是指由一个命题判断到另一个命题判断的思维过程，所谓逻辑推理是指推理所涉及的命题内涵之间具有某种传递性。这样，在本质上逻辑推理只存在两种形式，一种是归纳推理，一种是演绎推理，前者是命题内涵由小到大的推理，后者是命题内涵由大到小的推理。人们借助归纳推理，从经验过的东西出发推断那些未曾经验过的东西；人们借助演绎推理，按照假设前提和规定法则验证那些通过推断得到的结论的正确性。因此也可以说，归纳推理是一种从特殊到一般的推理，通过推断得到的结论是或然的；演绎推理是一种从一般到特殊的推理，通过推理得到的结论是必然的。数学的结论之所以具有类似真理那样的合理性，或者说数学推理具有严谨性，正是因为数学的发展、或者说数学的推理过程严格地遵循了这两种形式的推理。

我们不可能把抽象和推理截然分开：抽象的过程、特别是第二次抽象的过程要依赖推理；而两种形式的推理、特别是归纳推理要依赖抽象。

我们曾经反复论述，抽象了的东西不是具体的存在，而是一种理念的存在，或者说，是一种抽象的存在。比如，我们看到足球，看到乒乓球，在我们的头脑中形成圆的概念，这个概念就是一种抽象的存在，因为这种存在已经脱离了具体的足球和乒乓球。借助这种抽象的概念，我们可以谈论圆，可以在黑板上画出圆，甚至还可以定义圆，可以研究圆的性质，这种抽象的存在就构成了数学研究的基础。关于这个问题最为形象的比喻，可以使人想起明代以画竹见长的著名画家郑板桥，因为他说过类似的话：我画的是胸中之竹，不是眼中之竹。

对于数学的学习和研究来说，这种抽象的存在是至关重要的。一方面，这种抽象的存在摆脱了现实的存在性，使得数学的研究具有了普遍性。关于这个问题，古希腊的哲学家亚里士多德说得非常明确^注30：

如果它们是普遍的，那么就不会像实体那样存在，因为没有一个共同的东西能表示这个存在，共同的东西表示的是一个类，只有实体才能表示这个存在。

另一方面，这种抽象的存在摆脱了思维的个别性。从表面看，这种抽象的存在似乎是个人心理活动的结果，事实上，这种存在具有理念的客观性。正如上面所说的，虽然郑板桥画的是他的胸中之竹，但见过竹子的人都知道郑板桥画的是竹子。关于这个问题，德国哲学家、现象学学派创始人胡塞尔所说更为明确^注31：

几何学上的存在，并不是心理上的存在；它并不像个人的东西在个人的意识领域中那样的存在；它是对“每个人”（对于现实的和可能的几何学家、或者那些懂得几何学的人）都客观地存在着的东西的那种存在。…… 正如我们所看到的，这是一种“理念的”客观性。

由此可见，数学研究的是那些普遍存在了的东西，这种普遍存在了的东西：既不是某个具体存在的东西，也不是某个单独存在的东西。正是因为有了这种普遍性，才使得通过数学推理得到的命题和定理具有一般性，才使得数学具有广泛的应用性。

如果仅仅是为了“知”而知的话，数学完全可以借助逻辑推理在那些抽象了的东西内部自我发展。或许，只需要偶尔地查看一下，还能在现实世界中抽象出些什么东西，然后把那些东西形成新的概念引入到数学内部，使得数学“知”的内容更加丰富。从古到今，有许多数学家就是这么想的，也是这么做的。数学知识的海洋是如此辽阔，数学推理的逻辑是如此有趣，特别是，其中只有数学家才能理解的奥妙之处是如此之多^注32，于是许多数学家遨游于数学的海洋乐此不疲。

这种现象到19世纪末、20世纪初表现得最为明显，因为那个时代使得数学真正走向了研究对象的符号化、证明过程的形式化、论证逻辑的公理化^注33，这些东西突出地显示了我们所说的第二次抽象。数学的这种基于第二次抽象的转变，使得人们能够清晰地解释牛顿、莱布尼茨使用极限、发明微积分以后给数学带来的一系列的困惑。同时，我们也可以看到，这个转变也为数学家的为“知”而知的研究奠定了深厚的逻辑基础，伟大的德国数学家希尔伯特提出的23个问题，就是最明确的例证。我们曾说过，这些问题是希尔伯特在1900年巴黎第二次世界数学家大会上提出的，这23个问题曾经相当程度地引领了20世纪数学的发展。下面，我们分析其中的第一个问题，我想，通过对这个问题的分析可以比较清晰地阐述这个时代数学的特征。

第一个问题是关于连续统的。现代集合论的创始人德国数学家康托打破了亚里士多德的关于无穷只能是“潜无穷”的限制，认为无穷也是一种实实在在的存在，是“实无穷”，并且用符号表示这种存在^注34。显然，整数的个数是无穷的，有理数的个数也是无穷的，尽管人们的直觉会认为有理数的“个数”要比整数的“个数”多得多，但康托给出了一个针对无穷判断“多少”的准则，这个准则基于对应关系。在这个准则下，康托论证了整数的“无穷”与有理数的“无穷”是等价的，即这两个“无穷”一样多，或者说，这两个“无穷”是一样大的。康托称这样的无穷的“大小”为“可数”多个，并且论证了“可数”是所有无穷中最小的，用希腊字母Ж₀表示。进一步，康托设想，从这个最小的无穷出发，可以像自然数那样把各个层次的无穷表示为

Ж₀，Ж₁，Ж₂，Ж₃，……（0.1）

后来，康托又用一种很特殊的反证法证明了实数的“个数”要比有理数的“个数”多，并且用c表示实数个数的无穷。在那个时代，德国数学家戴德金已经用分割的方法定义了实数，并且证明了实数的连续性，于是人们称这个c为“连续统”。因为康托已经论证了c﹥Ж₀，因此，如果康托关于（0.1）式所表述的设想是正确的，就应当有c≥Ж₁。但是，人们凭借直觉很难想象c﹥Ж₁，于是希尔伯特23个问题中的第一个问题就是判断

c=Ж₁   （0.2）

在问题的阐述过程中，希尔伯特还提出了他所设想的解决问题的思路，这个思路涉及另一个问题，就是实数的良序化问题。我们知道，实数的大小关系可以构成一个序，对于任意给定的有限个实数，我们总可以在其中找出最小的一个数，甚至对于给定的闭区间，我们也能在其中找出最小的数。可是，如果给定的是一个开区间（0,1），我们就无法找到最小的数，因为对于这个区间中任意给定的一个数a，必然有0﹤a，于是，我们总可以找到0和a之间的一个数，比如a/2，使得0﹤a/2﹤a，这样a就不可能是这个区间中最小的数。而所谓的实数良序化是说：可以人为地在实数集合上定义一个序，使得对于这个序，实数的每一个子集合都有最小元。

1966年菲尔兹奖的得主、美国数学家科恩解决了希尔伯特提出的连续统假设问题，因为他证明了，现代数学所使用的ZF集合论公理体系与连续统假设是相互独立的，这就意味着，用现在使用的公理体系无法验证连续统假设正确与否。由此可以看到，证明过程的形式化和论证逻辑的公理化必然改变人们对数学命题的传统认识，甚至影响了人们对于数学命题的直观判断。基于排中律，一个数学命题要么是正确的、要么是错误的，二者必居其一，可是现在，人们已经无法在事先清晰地判断一个数学命题的正确性是否可以被验证。

更为明显的事实是，连续统假说中涉及的所有概念几乎都是康托制造出来的，并且（0.1）式所描述的关于无穷“大小”的排列，也是康托类比自然数的情况想象出来的。显然，对于这样的完全凭借想象得到的、完全凭借符号表述的东西，人们无法给出任何基于现实世界的直观判断。我们不能不看到，沉迷在符号与形式中的现代数学的一些分支，这样的问题是层出不穷的，对于许多数学家而言，这样的问题也是其乐无穷的。

为了证明有理数的个数与自然数的个数一样多，就必须把所有的有理数按照某种人为规定的“序”进行排列，使得有理数能够与自然数一一对应。因为任何两个不相等的有理数之间总能插入一个有理数，那么，上面所说的某种人为规定的“序”就必然与有理数的大小无关。我们在第一辑第一节就谈到，数是对数量的抽象，数量关系的本质是多与少，与此对应，数的本质是大与小。这样，上面所说的某种“序”就必然与人们通常对于数的理解大相径庭。事实上，为了证明有理数的个数与自然数的个数一样多，康托使用的是有理数的分数形式；但是，为了证明有理数的个数小于实数的个数，康托又使用了有理数的小数形式，并且在这个基础上使用了一种非常特殊的反证法。由此可以看到，证明过程的形式化和论证逻辑的公理化需要人们认可所述说的假设前提。

就证明过程而言，也会出现类似情况。1904年，现代集合论ZF公理体系的奠基人、德国数学家策梅罗证明了希尔伯特在阐述“连续统”问题时涉及的“实数良序化”问题。策梅罗还特别指出，他在证明的过程中使用了选择性公理^注36。ZF集合论公理体系一共有九个公理，选择性公理是其中的第八个公理。选择性公理曾经给数学家带来许多尴尬，比如，选择性公理引发了巴拿赫·塔斯基悖论：把三维空间的一个单位球划分为五份，通过旋转和平移可以拼装成两个完整的单位球^注37。因为单位球是看得见摸得着的，我们可以直观清晰地判断巴拿赫·塔斯基悖论是荒诞的；可是，策梅罗所讨论的问题则完全是符号化的，是从选择性公理这个假说前提出发，把逻辑推理形式化地应用于符号，对于这样的问题人们只能凭借想象而无法建立起直观，那么，我们应当如何判断策梅罗得到的结果是否是荒诞的呢？

通过上面的讨论可以看到，研究对象的符号化、证明过程的形式化、论证逻辑的公理化可以使数学的原理更加清晰、更加合理，使得人们对数学的研究更有信心。但是，我们也不能不看到，这样的发展也使得现代数学所研究的许多问题越来越脱离现实背景，甚至许多数学结果已经超出了大多数人的想象能力和判断能力。于是，正如上个世纪极具影响力的、研究数理逻辑出身的哲学家罗素在讨论了古希腊的数学贡献后所说的那样^注38：

我应当同意柏拉图的说法，纯粹数学并不是从知觉得来的。纯粹数学包含的都是类似“人是人”这样的同义反复，只不过是更为复杂罢了。要知道，判断一个数学命题是否正确，并不需要研究现实世界，而只需要研究符号的意义；而符号，当我们省略了定义之后，只不过是“或者”“不是”“一切”和“某些”之类的话语，并不指向现实世界中的任何事物。

我们用很大的篇幅论证了，凭借抽象和推理，人们可以构建一个庞大的数学王国。这个数学王国可以与现实世界相对独立，并且，数学家可以在这个王国中付出艰辛的劳作，品尝那些只有很少部分人才能理解的成功与喜悦；事实上，也只有很少部分人才能理解其中的艰辛所在。在这里我想说的是，这样的数学的存在是有其合理性的。

但是，我们必须强调的是，上面所说的数学并不是数学的全部，也不是所有的数学家都像罗素那样理解数学。既然数学所研究的那些概念和原理是从现实世界中“合理”地抽象出来的，数学所依赖的推理也是“自然”地模仿人们在日常生活和生产实践中的思维过程，因此，数学得到的结论、至少大部分结论是可以应用于现实世界的。

进一步，如果数学的某一个分支要得到重大的发展，必须并且也只能在现实世界中获取灵感，在不断应用的过程中汲取养分。正如我们多次谈到的那样，虽然数学的第二次抽象在形式上是美妙的，但其功能至多是很好地解释了第一次抽象得到的那些结果，因此，在本质上无重大发明可言；而数学的第一次抽象可能会有一些瑕疵，但这种抽象是直接来源于经验的，抽象的对象是现实世界，只有这种直接从现实世界中抽象出来的数学问题，才是朝气蓬勃的，才可能具有进一步发展的生命力。关于这一点，美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼有过清晰地论述^注39：

数学思想来源于经验，我想这一点是比较接近真理的。真理实在太复杂，对之只能说接近，别的都不能说。…… 数学思想一旦被构思出来，这门学科就开始经历它本身所特有的生命。事实上，认为数学是一门创造性的、受审美因素支配的学科，比认为数学是一门别的、特别是经验的学科要更确切一些。…… 换句话说，在距离经验本源很远很远的地方，或者在多次“抽象的”近亲繁殖之后，一门数学学科就有退化的危险。

冯·诺伊曼的关于“数学经过多次抽象之后可能出现近亲繁殖、可能带来退化的危险”的论述是值得充分重视的，很显然，避免数学退化最简单的办法就是注重数学与现实世界的联系。那么，数学的那些已经形成了的概念、原理、方法和思想应当如何与现实世界联系呢？这个问题的解答，便是我们将要讨论的数学模型。

我们讨论过，合理的思维过程具有理性加工的功能，而现实世界的那些东西一旦经过理性的加工，或者说，一旦经过数学的描述，不仅具有了一般性并且具有了真实性^注40。而数学模型就是这种理性加工的范例，数学对于解释现实世界是无能为力的，但利用数学能够更好地描述现实世界。我们称用数学的概念和原理描述现实世界的过程中所依赖的思想为数学模型，因此，数学模型不仅是一种工具，也是一种思想。数学模型使得数学走出数学的世界，数学模型是构建数学与现实世界的桥梁。

可以看到，我们所说的数学模型与人们通常所说的数学应用是有所区别的。数学应用涉及的范围相当宽泛，甚至可以泛指应用数学的概念、原理和计算方法解决实际问题的所有事情。虽然数学模型也属于数学应用的范畴，但更侧重于用数学的概念、原理和思想方法描述现实世界中的那些规律性的东西。通俗地说，数学模型借用数学的语言讲述现实世界的故事。在这个意义上，数学模型的出发点不仅仅是数学，还包括现实世界中的那些我们将要讲述的东西。这就像建筑桥梁一样，在建筑之前我们必须清楚，要把桥梁建筑在哪里。并且，数学模型的研究手法也不是单向的，而是需要从数学和现实这两个出发点开始，规划研究路径、构建描述用语、验证研究结果、解释结果含义，从而得到与现实世界相容的、可以描述现实世界的结论。

在现实世界中，放之四海而皆准的东西是不存在的。因此，我们所界定的数学模型必然有其适用范围，这个适用范围通常表现于模型的假设前提，表现于模型的初始值，或者表现于对模型参数的某些限制。在这个意义上，所有的数学表达，比如函数、方程、公式等等，本身都不属于我们所界定的数学模型，至多可以认为，这些数学表达可以作为描述现实世界的数学语言。另一方面，我们所界定的数学模型又不可能是太具体的，因为数学模型描述的是规律性的、必然的那些东西。正像我们在第四辑第五讲中所讨论的那样，必然是通过偶然表现的，而数学模型描述的并不是那些偶然的东西，而是要揭示通过偶然表现的、偶然背后的那些必然的东西。

正因为数学模型具有数学和现实这两个出发点，那么数学模型就不完全属于数学的范畴。事实上，大多数应用性很强的数学模型的命名，都依赖于所描述的学科背景。比如在生物学中：种群增长模型，基因复制模型等等；在医药学中：专家诊断模型，疾病靶向模型等等；在气象学中：大气环流模型，中长期预报模型等等；在地质学中：板块构造模型，地下水模型等等；在经济学中：股票衍生模型，组合投资模型等等；在管理学中：投入产出模型，人力资源模型等等；在社会学中：人口发展模型，信息传播模型等等。在物理学、化学这些传统的自然科学领域，各类数学模型更是百花齐放。因此，就事物的本质而言，数学模型的价值取向往往不是数学本身，而是对所描述学科起到的实际作用。比如，那些获得诺贝尔经济学奖的数学模型，人们关注的并不是模型的数学价值，而是应用价值。当然，在人们构建数学模型和实际应用的过程中，必然会从数学的角度汲取“创造数学”的灵感，从而促进数学自身的发展，就像冯·诺伊曼所说的那样。

在数学的教学中，让学生了解数学模型、特别是了解数学模型的形成过程是非常重要的，因为在这个过程中，可以让学生体会如何通过数学的“眼睛”来观察和分析现实世界中的一些事情，并且利用数学的“语言”来描述和分析这些事情。在《义务教育阶段数学课程标准》中，提出“综合与实践”的课程内容，就是为了达到这个目的。当然，在这样的教学过程中也能让学生感悟数学是现实的、是有用的，从而增强学生学习数学的兴趣。

我们在这一辑讨论自然界的数学模型，在下一辑讨论生活中的数学模型。所谓“自然界的”是指现实世界中原本就存在的、与人的作为无关的那些东西，比如，时间、空间、引力等等；所谓的“生活中的”就是指与人的活动有关的那些东西，比如，社会、经济、金融、教育、心理等等。